Для определения, какую из троек можно принять за новый базис, нужно проверить, является ли каждая из троек базисом. Для этого нужно убедиться, что вектора тройки линейно независимы и что их линейная оболочка совпадает с трехмерным пространством.
Проверим каждую тройку векторов:
Тройка f1¯¯¯¯¯={1,−1,2}; f2¯¯¯¯¯={−3,−3,−3}; f3¯¯¯¯¯={−1,2,3}:
1. Проверим линейную независимость. Предположим, что существуют такие числа a, b и c, что:
a*f1 + b*f2 + c*f3 = 0,
где 0 - нулевой вектор. Это равенство можно записать в виде системы линейных уравнений:
a - 3b - c = 0,
-a - 3b + 2c = 0,
2a - 3b + 3c = 0.
Эту систему можно решить методом Гаусса или Крамера. Но для нашей цели достаточно рассмотреть определитель матрицы коэффициентов системы:
|1 -3 -1|
|-1 -3 2|
| 2 -3 3| != 0.
Таким образом, вектора тройки f1¯¯¯¯¯={1,−1,2}; f2¯¯¯¯¯={−3,−3,−3}; f3¯¯¯¯¯={−1,2,3} линейно независимы.
2. Проверим, что их линейная оболочка совпадает с трехмерным пространством. Для этого нужно убедиться, что эти вектора могут выразить любой вектор трехмерного пространства в виде их линейной комбинации.
Рассмотрим произвольный вектор x¯={x1, x2, x3}. Мы хотим найти числа a, b и c, такие что:
a*f1 + b*f2 + c*f3 = x.
То есть нам нужно решить следующую систему:
a - 3b - c = x1,
-a - 3b + 2c = x2,
2a - 3b + 3c = x3.
Определитель этой системы не равен 0 (он равен определителю, который мы уже рассчитали ранее). Значит, система имеет единственное решение для произвольного вектора x.
Таким образом, вектора тройки f1¯¯¯¯¯={1,−1,2}; f2¯¯¯¯¯={−3,−3,−3}; f3¯¯¯¯¯={−1,2,3} образуют базис в трехмерном пространстве.
Тройка g1¯¯¯¯¯={−1,3,2}; g2¯¯¯¯¯={−2,−3,2}; g3¯¯¯¯¯={4,−3,−6}:
Аналогично проверим, что вектора тройки g1¯¯¯¯¯={−1,3,2}; g2¯¯¯¯¯={−2,−3,2}; g3¯¯¯¯¯={4,−3,−6} линейно независимы и их линейная оболочка совпадает с трехмерным пространством.
1. Проверим линейную независимость. Предположим, что существуют такие числа a, b и c, что:
a*g1 + b*g2 + c*g3 = 0.
Это равенство можно записать в виде системы линейных уравнений:
-a - 2b + 4c = 0,
3a - 3b - 3c = 0,
2a + 2b - 6c = 0.
Определитель этой системы равен 0:
|-1 -2 4|
| 3 -3 -3|
| 2 2 -6| = 0,
что означает, что вектора тройки g1¯¯¯¯¯={−1,3,2}; g2¯¯¯¯¯={−2,−3,2}; g3¯¯¯¯¯={4,−3,−6} линейно зависимы.
Таким образом, вектора тройки g1¯¯¯¯¯={−1,3,2}; g2¯¯¯¯¯={−2,−3,2}; g3¯¯¯¯¯={4,−3,−6} не могут образовать базис в трехмерном пространстве.
Итак, из двух троек векторов только тройка f1¯¯¯¯¯={1,−1,2}; f2¯¯¯¯¯={−3,−3,−3}; f3¯¯¯¯¯={−1,2,3} может быть принята за новый базис.
Найдем теперь координаты вектора x¯¯¯¯¯={11,−1,6} относительно этого нового базиса.
Для этого надо найти такие коэффициенты a, b и c, что:
a*f1 + b*f2 + c*f3 = x.
a*f1 + b*f2 + c*f3 = (1, -1, 2)*(11, -1, 6) = 11 - 1*1 + 2*6 = 11 - 1 + 12 = 22.
Таким образом, координаты вектора x относительно нового базиса {f1¯¯¯¯¯, f2¯¯¯¯¯, f3¯¯¯¯¯} равны 22.
Ответ: 22.
