Для решения этой задачи нам необходимо найти оптимальное количество яблок, которое потребитель купит с учетом своих предпочтений и бюджета. Предположим, что потребитель купит ( x ) фунтов яблок и ( y ) фунтов апельсинов. С учетом цен на яблоки и апельсины, общая сумма, которую потребитель потратит, не должна превышать 12 долларов, то есть: [ x + 2y leq 12. ] Также у нас есть функция полезности ( u(x, y) = xy ), которая выражает удовлетворение потребителя от потребления яблок и апельсинов. Нам нужно максимизировать ( u(x, y) = xy ) при ограничении ( x + 2y leq 12 ). Для решения данной задачи используем метод множителей Лагранжа. Введем множитель Лагранжа ( lambda ) и составим функцию Лагранжа: [ L(x, y, lambda) = xy + lambda(12 - x - 2y). ] Теперь найдем частные производные от функции Лагранжа по переменным ( x ), ( y ) и ( lambda ) и приравняем их к нулю: 1. [ frac{partial L}{partial x} = y - lambda = 0, ] 2. [ frac{partial L}{partial y} = x - 2lambda = 0, ] 3. [ frac{partial L}{partial lambda} = 12 - x - 2y = 0. ] Из уравнений 1 и 2 получаем: [ y = lambda, ] [ x = 2lambda. ] Подставим ( x ) и ( y ) в ограничение ( x + 2y leq 12 ): [ 2lambda + 2lambda leq 12, ] [ 4lambda leq 12, ] [ lambda leq 3. ] Имеется несколько вариантов решения. Поскольку мы хотим максимизировать функцию, то выберем наибольшее доступное значение ( lambda ), которое равно 3. Таким образом, ( x = 2lambda = 2 cdot 3 = 6 ), ( y = lambda = 3 ). Получаем, что потребитель купит 6 фунтов яблок и 3 фунта апельсинов, не превышая общую сумму 12 долларов, и максимизируя удовлетворение от потребления.