Дана система, которая состоит из платформы массой $m1 = 80$ кг и длиной $l = 6$ м, стоящей на гладкой горизонтальной плоскости, и тележки массой $m2 = 40$ кг, находящейся в начальном положении А на платформе. Когда тележка переместится в конечное положение В, система приобретет некоторую скорость. Рассмотрим движение системы до и после перемещения тележки. Первоначально система покоится, поэтому полная начальная энергия системы равна кинетической энергии тележки при предсказанных возможных изменениях, так как платформа в начальный момент времени неподвижна. Изначальная кинетическая энергия тележки: $$K_{text{нач}} = frac{1}{2} m_2 v_{text{нач}}^2,$$ где $v_{text{нач}} = 0$, так как система покоится. Эта энергия перейдет в энергию движения платформы и тележки после перемещения. Таким образом, та самая кинетическая энергия уйдет на движение обоих тел и также на их вращение вокруг точки А, что вызовет некоторую кинетическую энергию вращения. Если обозначить скорость центра масс системы как V и угловую скорость вращения платформы как $omega$, тогда кинетическая энергия системы в конечной точке равна: $$K_{text{кон}} = frac{1}{2} (m1 + m2) V^2 + frac{1}{2} I_A omega^2,$$ где $I_A$ - момент инерции платформы относительно точки А. Момент инерции платформы I_A относительно точки А равен массе платформы $m1$ умноженной на квадрат длины $l$ деленное на 12 (момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс): $$I_A = frac{m1 cdot l^2}{12}.$$ Таким образом, полная конечная кинетическая энергия будет: $$K_{text{кон}} = frac{1}{2} (m1 + m2) V^2 + frac{1}{2} frac{m1 cdot l^2}{12} omega^2.$$ Система не подвергается никаким внешним силам, следовательно, сохранение полной механической энергии выполнено. Следовательно, начальная кинетическая энергия равна конечной. $$K_{text{нач}} = K_{text{кон}}$$ $$(1) quad frac{1}{2} m_2 cdot 0 = frac{1}{2} (m1 + m2) V^2 + frac{1}{2} frac{m1 cdot l^2}{12} omega^2.$$ Также можно записать связь скорости центра масс системы и угловой скорости платформы: $$V = omega frac{l}{2},$$ где $frac{l}{2}$ - расстояние от точки А до центра масс платформы. Подставляя это в уравнение (1), получим: $$(2) quad frac{1}{2} m_2 cdot 0 = frac{1}{2} (m1 + m2) left(frac{l}{2}omegaright)^2 + frac{1}{2} frac{m1 cdot l^2}{12} omega^2.$$ $$frac{1}{2} (m1 + m2) left(frac{l}{2}omegaright)^2 + frac{1}{2} frac{m1 cdot l^2}{12} omega^2 = 0.$$ $$frac{1}{2} left(m1 + m2right) left(frac{l^2}{4}omega^2right) + frac{1}{2} frac{m1 cdot l^2}{12} omega^2 = 0.$$ $$frac{1}{8} left(m1 + m2 + frac{m1}{6}right) l^2omega^2 = 0.$$ Подставляем значения масс $m1$ и $m2$ и длины $l$: $$frac{1}{8} left(80 + 40 + frac{80}{6}right) cdot 6^2 omega^2 = 0.$$ $$frac{1}{8} left(120 + frac{80}{6}right) cdot 6^2 omega^2 = 0.$$ $$frac{1}{8} cdot frac{680}{6} cdot 36 omega^2 = 0.$$ $$frac{680}{6} cdot 4.5 omega^2 = 0.$$ $$frac{340}{3} cdot 9 omega^2 = 0.$$ $$340 cdot 3 omega^2 = 0.$$ $$1020 omega^2 = 0.$$ $$omega = 0.$$ Таким образом, угловая скорость платформы после передвижения тележки равна нулю. Это означает, что платформа остается в покое после перемещения тележки.