Для решения этой задачи воспользуемся уравнениями движения тела в вертикальном направлении. Изначально мячик имеет только кинетическую энергию (т.к. его начальная скорость равна нулю), поэтому его полная механическая энергия равна кинетической энергии: [E_{text{нач}} = frac{1}{2} m v_{text{нач}}^2] где (m) - масса мячика, (v_{text{нач}}) - начальная скорость. Когда мячик достигнет максимальной высоты, его скорость окажется равной нулю, и он будет обладать только потенциальной энергией, равной его полной механической энергии: [E_{text{кон}} = mgh] где (g) - ускорение свободного падения. В процессе подъема мячика работает сила тяжести, направленная вниз, поэтому работа этой силы при движении на высоту (h) равна [begin{aligned} A &= F cdot h \ &= mgh end{aligned}] Из закона сохранения энергии: [E_{text{нач}} + A = E_{text{кон}}] [begin{aligned} frac{1}{2} m v_{text{нач}}^2 + mgh &= mgh \ frac{1}{2} v_{text{нач}}^2 &= gh end{aligned}] Таким образом, начальная скорость мяча равна: [v_{text{нач}} = sqrt{2gh}] Далее найдем время движения мяча. Когда мяч падает на высоту (h), его скорость равна: [v_{text{пад}} = sqrt{2gh}] Путь, пройденный мячом за время движения - (3h), также можно рассчитать по формуле для пройденного пути: [s = v_{text{нач}} t - frac{1}{2} g t^2] [3h = v_{text{нач}} t - frac{1}{2} g t^2] Так как (v_{text{нач}} = v_{text{пад}},) то (v_{text{пад}} t - frac{1}{2} g t^2 = 3h.) Найдем время движения мяча: [begin{aligned} sqrt{2gh} t - frac{1}{2} g t^2 &= 3h \ frac{1}{2} g t^2 - sqrt{2gh} t + 3h &= 0 end{aligned}] Решим это квадратное уравнение относительно времени (t) и выберем положительное решение. Наконец, найдем скорость падения мяча. Для этого можно воспользоваться законом сохранения энергии: [E_{text{нач}} = E_{text{кон}} + A] [frac{1}{2} m v_{text{нач}}^2 = mgh + mgh] [frac{1}{2} v_{text{нач}}^2 = 2gh] [v_{text{пад}} = sqrt{4gh}] Таким образом, мы получили начальную скорость мяча, время его движения и скорость падения. Это решение позволяет определить все величины, учитывая законы сохранения энергии и уравнения движения тела в вертикальном направлении.