1) Для распределения 5 вакантных должностей между 9 кандидатами используем формулу сочетаний. В данном случае нам нужно найти число сочетаний из 9 по 5: C(9, 5) = 9! / (5!(9-5)!) = 9! / (5! * 4!) = 126. То есть 5 вакантных должностей можно распределить между 9 кандидатами 126 способами. 2) Число перестановок ( n! ) равно произведению чисел от 1 до n. Таким образом, число перестановок русских букв (33!) и латинских букв (26!) можно найти и сравнить: 33! = 33 * 32 * ... * 2 * 1, 26! = 26 * 25 * ... * 2 * 1. Так как число 33! больше 26!, то число перестановок русских букв превышает число перестановок латинских букв в ( 33! / 26! = 33 * 32 * ... * 27 ) раз. 3) Для определения числа вариантов расписания из 11 дисциплин на пять пар можно использовать формулу размещений с повторениями. Так как порядок пар важен, то используем формулу для размещений с повторениями: ( A_{n}^{k} = n^k ), где n - количество возможных дисциплин (11 дисциплин), k - количество пар (5 пар). Таким образом, число вариантов расписания будет равно ( 11^5 = 161051 ). 4) В шахматном турнире участвует 16 человек, и чтобы между любыми двумя участниками была сыграна одна партия, нужно каждый участник сыграл с каждым другим участником по одной партии. Это можно рассмотреть как полный граф, где каждый участник соединен с каждым другим участником. Чтобы найти число партий, нужно определить количество ребер в полном графе с 16 вершинами: Количество ребер в полном графе с n вершинами равно ( C(n, 2) ), где C(n, 2) - количество сочетаний из n по 2. Для 16 участников количество ребер будет равно ( C(16, 2) = 16! / (2! * 14!) = 120 ). Таким образом, должно быть сыграно 120 партий, чтобы каждый участник сыграл с каждым другим по одной партии.