Для решения этой задачи нам необходимо знать формулу для нахождения площади ромба и формулу для нахождения объема пирамиды. Площадь ромба можно найти по формуле: S = d1 * d2 / 2, где d1 и d2 - диагонали ромба. Угол между диагоналями ромба в нашем случае равен 45 градусов. Так как угол между боковой гранью и плоскостью основания пирамиды равен 30°, то у нас получается два прямоугольных треугольника, вершины которых лежат в центре ромба. Диагональ ромба является гипотенузой каждого из этих треугольников, а половинки диагоналей являются катетами, поэтому мы можем найти длину каждой стороны ромба следующим образом: sin(45°) = d1/2a d1 = 2a * sin(45°) cos(30°) = (d2/2) / a d2 = 2a * cos(30°) где a - длина стороны ромба. Теперь, когда мы знаем длины сторон ромба, мы можем найти его площадь: S = d1 * d2 / 2 = 2a * sin(45°) * 2a * cos(30°) / 2 = 2a^2 * sin(45°) * cos(30°). Мы можем упростить эту формулу, заметив, что sin(45°) = cos(45°) = sqrt(2)/2, и раскрыв cos(30°) через sin(60°): cos(30°) = sin(90° - 30°) = sin(60°) = sqrt(3)/2. Тогда мы получим: S = 2a^2 * sqrt(2)/2 * sqrt(3)/2 = a^2 * sqrt(6). Теперь нам нужно найти объем пирамиды по формуле: V = S * h / 3, где S - площадь основания, а h - высота пирамиды. Подставляя наше значение площади основания S и высоту пирамиды h = 9 см, мы получим: V = a^2 * sqrt(6) * 9 / 3 = 3a^2 * sqrt(6). Нам осталось найти значение длины стороны ромба a. Мы знаем, что угол между диагоналями ромба равен 45°, а значит, что диагонали ромба делят его на четыре прямоугольных треугольника со сторонами a/2, a/2 и h. Используя теорему Пифагора для одного из этих треугольников, мы можем записать: (a/2)^2 + (a/2)^2 = h^2. Решая эту уравнение относительно a, мы получаем: a = 2h / sqrt(2) = 9 * 2 / sqrt(2) = 9 * sqrt(2). Теперь мы можем найти площадь основания и объем пирамиды: S = a^2 * sqrt(6) = (9*sqrt(2))^2 * sqrt(6) = 162 * sqrt(3). V = 3a^2 * sqrt(6) = 3 * (9*sqrt(2))^2 * sqrt(6) = 1458 * sqrt(2). Таким образом, ответом на задачу являются следующие значения: площадь основания S = 162 * sqrt(3) (кв. см), объем пирамиды V = 1458 * sqrt(2) (куб. см).