Для определения состава точек на эллиптической кривой необходимо использовать математическую формулу для сложения точек на данной кривой. Существует несколько подходов к такому сложению, но мы рассмотрим "геометрический метод", который используется в большинстве криптографических алгоритмов.
Этот метод предполагает, что для сложения двух точек на эллиптической кривой нужно провести прямую через эти точки, а затем найти пересечение этой прямой с кривой. Точка пересечения затем отражается относительно оси x, чтобы получить новую точку на кривой, которая будет результатом сложения двух исходных точек.
Формулы, необходимые для вычисления точек на эллиптической кривой с заданными параметрами, можно найти в литературе. Например, для проведения прямой через точки P и Q на кривой заданной уравнением y^2=x^3+ax+b (в данном случае p=7, a=3, b=6), нужно вычислить:
- lambda = (Q_y - P_y) / (Q_x - P_x), если P != Q;
- lambda = (3 * P_x^2 + a) / (2 * P_y), если P = Q.
Затем координаты новой точки R будут:
- R_x = lambda^2 - P_x - Q_x;
- R_y = P_y + lambda * (R_x - P_x).
С учётом данной формулы, определим состав точек по заданным параметрам.
1) Точка 23, 0. Определяем, какая прямая должна быть проведена. Она должна проходить через точки 23, 0 и саму себя (то есть, это случай, когда точка складывается сама с собой). В этом случае формула для lambda будет 3 * P_x^2 / (2 * P_y). Значения координат для этой точки: P_x = 23, P_y = 0. Подставляя их в формулу, получим:
lambda = (3 * 23^2 + 3) / (2 * 0) = бесконечность.
То есть, в данном случае сложение не имеет смысла, так как прямая, проведенная через точку и саму себя, является вертикальной.
2) Точка 3, 0 + (6, 4). Нужно провести прямую через эти две точки. Значения координат для точки 3, 0: P_x = 3, P_y = 0. Значения координат для точки (6, 4): Q_x = 6, Q_y = 4. Подставляем их в формулу для lambda:
lambda = (4 - 0) / (6 - 3) = 4 / 3.
Затем находим координаты новой точки R:
R_x = (4 / 3)^2 - 3 - 6 = -49 / 9;
R_y = 4 + (4 / 3) * (-49 / 9 - 3) = -116 / 27.
Таким образом, точка, которая является результатом сложения точки 3, 0 с точкой (6, 4), имеет координаты (-49 / 9, -116 / 27).
Отметим, что данная точка является "кривой-второго-порядка", то есть, это такая точка, которая пересекает кривую еще в двух точках. Это свойство эллиптических кривых используется в криптографии для обеспечения защиты передаваемых данных.