В данной задаче нам дано, что окружности w1 и w2 касаются в точке X. Прямая NX является общей касательной для этих окружностей. Из точки N проведены вторые касательные NY и NZ к окружностям w1 и w2 соответственно. Нам нужно найти отношение длин отрезков YZ:NX. Для решения этой задачи воспользуемся геометрическими свойствами касательных и углов. Обозначим радиусы окружностей w1 и w2 как r1 и r2 соответственно. Также обозначим длины отрезков NX, NY и NZ как x, y и z соответственно. По свойству касательной к окружности, угол O1NX является прямым углом. Значит, треугольник O1NX является прямоугольным. Аналогично, треугольник O2NX также является прямоугольным. Так как треугольник O1NX прямоугольный, то у нас возникает прямоугольный треугольник O1YX, в котором O1Y является высотой. По тем же причинам, у нас также возникает прямоугольный треугольник O2XZ, в котором O2Z является высотой. Поскольку угол YO1X прямой, то треугольник O1YX также является прямоугольным. Аналогично, треугольник O2XZ является прямоугольным. Заметим, что треугольники O1YX и O1NY подобны, так как у них имеются два прямых угла и углы YO1X и YNX равны (дано в условии). Аналогично, треугольники O2XZ и O2NZ также подобны. Из подобия треугольников O1YX и O1NY можно записать следующие отношения: O1Y / O1N = XY / YN O1Y / r1 = XY / y (1) Из подобия треугольников O2XZ и O2NZ можно записать следующие отношения: O2Z / O2N = XZ / ZN O2Z / r2 = XZ / z (2) Также можно заметить, что прямые XY и XZ параллельны (так как NX является общей касательной для окружностей w1 и w2). Из этого соотношения можно вывести следующее: YO1X = ZO2X YO1X + O1YX = ZO2X + O2ZX O1YX = O2ZX O1YX / O2ZX = 1 (3) Теперь мы можем выразить O1YX и O2ZX через x, y и z: O1YX = x - y O2ZX = z (4) Подставляя (4) в (3), получаем: (x - y) / z = 1 (5) Теперь рассмотрим треугольник NYZ. Угол YNZ равен сумме углов YO1X и ZO2X (по данным в условии). Так как эта сумма равна углу YNZ, то треугольник NYZ является прямоугольным. Так как треугольник NYZ прямоугольный, то у нас имеется прямоугольный треугольник NYX. Поэтому, по теореме Пифагора: NY^2 + XY^2 = NX^2 (6) Также у нас есть выражения для NY, XY и NX через r1 и x: NY = r1 - y XY = r1 + x Подставляя эти выражения в (6), получаем: (r1 - y)^2 + (r1 + x)^2 = x^2 Раскрывая скобки в этом уравнении, получаем: r1^2 - 2*r1*y + y^2 + r1^2 + 2*r1*x + x^2 = x^2 Упрощая это уравнение, получаем: 2*r1*x - 2*r1*y + y^2 = 0 (7) Из уравнений (5) и (7) у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (x и y). Из этих уравнений мы можем найти значения x и y. Решать систему уравнений (5) и (7) несложно, можно например методом подстановок.

из уравнения (5) выражаем x

x = z + y

подставляем x в уравнение (7)

2*r1*(z + y) - 2*r1*y + y^2 = 0

2*r1*z + 2*r1*y - 2*r1*y + y^2 = 0

y^2 + 2*r1*z = 0

y^2 = -2*r1*z

y = sqrt(-2*r1*z)

подставляем y в уравнение (5)

(x - y) / z = 1

(x - sqrt(-2*r1*z)) / z = 1

x = z + sqrt(-2*r1*z)

Заметим, что x = z + sqrt(-2*r1*z) и y = sqrt(-2*r1*z) являются решениями системы уравнений (5) и (7). Однако, нам нужно найти отношение длин отрезков YZ:NX. Расстояние между точками Y и Z можно найти с помощью теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике NYZ: YZ^2 = NY^2 + ZN^2 Подставляя значения NY и ZN, получаем: YZ^2 = (r1 - y)^2 + z^2 YZ^2 = (r1 - sqrt(-2*r1*z))^2 + z^2 Аналогично, расстояние между точками X и N можно найти с помощью теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике NYX: NX^2 = NY^2 + XY^2 Подставляя значения NY и XY, получаем: NX^2 = (r1 - y)^2 + (r1 + x)^2 NX^2 = (r1 - sqrt(-2*r1*z))^2 + (r1 + z + sqrt(-2*r1*z))^2 Наконец, мы можем выразить отношение длин YZ и NX: (YZ / NX)^2 = ((r1 - sqrt(-2*r1*z))^2 + z^2) / ((r1 - sqrt(-2*r1*z))^2 + (r1 + z + sqrt(-2*r1*z))^2) (YZ / NX)^2 = ((r1 - sqrt(-2*r1*z))^2 + z^2) / ((r1 - sqrt(-2*r1*z))^2 + (r1 + z + sqrt(-2*r1*z))^2) Таким образом, мы получили выражение для отношения длин отрезков YZ и NX. Можно заметить, что при данном условии задачи и выбранных обозначениях, это выражение не сокращается и не упрощается. Чтобы получить конкретное численное значение отношения, нужно знать значения r1 и z.