Пусть точка M - середина отрезка YZ. Обозначим углы YO1X и ZO2X как α и β соответственно, а угол YNZ - γ. Так как NY и NZ являются касательными, то углы YNM и ZNM прямые, а значит треугольники YNM и ZNM прямоугольные. Учитывая, что точка M - середина гипотенузы YZ, треугольники MYN и MZN равнобедренные. Также, учитывая, что угол α и угол β в 5 раз больше угла γ, а угол γ соответствует углу MYN или MZN, получаем, что α и β в 5 раз больше угла MYN или MZN. Рассмотрим треугольники YO1X и XO2Z. Угол YO1X = 180 - α, и угол XO2Z = 180 - β. Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, получаем, что угол X = α + β. Рассмотрим треугольники YMX и XNZ. Так как MY = MN и MX = MX, то треугольники MYM и MXN равны (по двум сторонам и углу между ними). Значит, угол MYX = углу NXZ. Также, так как MY = MN и MZ = MN, то треугольники MYN и MZN равны (по двум сторонам и углу между ними). Значит, угол NYM = углу NZM. То есть, углы YMN и ZMN равны, так как они являются накрест лежащими углами. Рассмотрим треугольники MON и MOX. Так как угол MYN = углу ONX (они равны друг другу, так как напротив соответствующие стороны имеют одинаковые длины), а угол MNO прямой, то угол ONX тоже прямой. То есть, треугольники MNY и ONX равны, так как у них по две стороны и угол между ними равны. Также, так как угол MYN = углу OXM и угол YMN = углу ONX, то треугольники MXO и NMN равны, так как они имеют по две равные стороны и равный угол между ними. Вернемся к треугольникам MXO и MON. Так как эти треугольники равны, то углы MXO и MON равны. Это значит, что углы YO1X и ZO2X тоже равны. То есть, α = β. Из равенства α = β получаем, что угол X = 2α. То есть, угол X равен 2α, а угол YO1X и ZO2X равны α. Теперь найдем отношение длин отрезков YZ и NX. Рассмотрим треугольники MYN и MZN. По условию, угол YNZ = γ. Значит, сумма углов в треугольнике MYN равна α + α + γ, а сумма углов в треугольнике MZN равна β + β + γ. Так как треугольники MYN и MZN равны (у них две стороны и угол между ними равны), то и сумма их углов равны. То есть, α + α + γ = β + β + γ. Сокращая на γ и учитывая, что α = β, получаем, что 2β = 2α. Так как угол X = α + β = 2α, то угол X = 2β. Из равенства углов X = 2α и X = 2β получаем, что 2α = 2β. Отсюда следует, что α = β = γ. То есть, углы α, β и γ равны. Так как угол α и угол β в 5 раз больше угла γ, то α = β = γ = 180 / 7. Теперь рассмотрим треугольники MYM и MXN. В этих треугольниках YN = YX, а NX = XM. То есть, отрезки YN и NX равны. Также, так как угол YMN = углу XNM, то треугольники MYM и MXN равны по углам и сторонам. Значит, отрезки YM и XM равны. То есть, отрезки YZ и NX делятся серединой на два равных отрезка. Ответ: отношение длин отрезков YZ и NX равно 1:1.