Данная задача связана с изучением касательных и углов окружностей. Для того чтобы решить задачу, нужно применить ряд геометрических свойств и законов. Итак, у нас есть две окружности w1 и w2 с центрами O1 и O2 соответственно, которые касаются в точке X. Прямая NX — общая касательная для этих окружностей. Определим точки касания прямой NX с окружностями w1 и w2. Пусть точки касания с w1 обозначим как Y1 и Z1, а точки касания с w2 обозначим как Y2 и Z2. Поскольку NX является общей касательной, то угол ONY1 равен прямому углу, также как и угол ONZ2. Здесь O1 и O2 - центры окружностей w1 и w2, соответственно. Также, поскольку O1X и O2X - радиусы окружностей w1 и w2, то углы O1XY1 и O2XZ2 тоже являются прямыми. Используем свойства прямых углов, чтобы найти меру угла YO1X. Если угол ONY1 - прямой, то ONY1 + YO1X = 180 градусов. Аналогично, ONZ2 + ZO2X = 180 градусов. По условию задачи известно, что сумма мер углов YO1X и ZO2X в 3 раза больше угла YNZ. Обозначим меру угла YO1X как аlpha, меру угла ZO2X - как beta, а меру угла YNZ - как gamma. Тогда alpha + beta = 3*gamma. Теперь рассмотрим треугольник NYZ. Заметим, что в нем угол NYZ также является прямым углом. Пусть мера угла NYZ равна theta. Используем свойства треугольника, чтобы найти меру угла YNZ. В треугольнике NYZ, мера угла YNZ + theta + gamma = 180 градусов (сумма углов треугольника). Теперь можем выразить меру угла YNZ через theta: YNZ = 180 - theta - gamma. Подставим это выражение в уравнение alpha + beta = 3*gamma: alpha + beta = 3*(180 - theta - gamma). Разложим это уравнение и приведем его к виду alpha + beta + 3*gamma = 540 - 3*theta. Но мы знаем, что alpha + beta + 3*gamma = 2*180 (сумма мер всех углов в треугольнике). Тогда можем записать равенство 2*180 = 540 - 3*theta и решить его: 2*180 = 540 - 3*theta, 360 = 540 - 3*theta, 3*theta = 540 - 360, 3*theta = 180, theta = 180/3, theta = 60. Итак, мера угла NYZ равна 60 градусов. Теперь осталось найти отношение длин отрезков YZ и NX. Заметим, что треугольник NYZ является равносторонним, так как все его стороны равны. Тогда длина отрезка YZ равна d, где d - расстояние от точки N до точки X. Также, треугольник ONX подобен треугольнику OY1X (они имеют общий угол OXN). Из этого следует, что соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны. Обозначим длину отрезка NX как x, а длину отрезка OX как r (где r - радиус окружности). Из подобия треугольников получаем следующее уравнение: NX/OX = Y1X/O1X, x/r = d/(2*r). Упростим это уравнение, умножив обе части на r: x = d/2. Таким образом, длина отрезка NX равна половине длины отрезка YZ. Ответ: отношение длин отрезков YZ : NX равно 2 : 1.