Данная задача связана с изучением касательных и углов окружностей. Для того чтобы решить задачу, нужно применить ряд геометрических свойств и законов.
Итак, у нас есть две окружности w1 и w2 с центрами O1 и O2 соответственно, которые касаются в точке X. Прямая NX — общая касательная для этих окружностей.
Определим точки касания прямой NX с окружностями w1 и w2. Пусть точки касания с w1 обозначим как Y1 и Z1, а точки касания с w2 обозначим как Y2 и Z2.
Поскольку NX является общей касательной, то угол ONY1 равен прямому углу, также как и угол ONZ2. Здесь O1 и O2 - центры окружностей w1 и w2, соответственно. Также, поскольку O1X и O2X - радиусы окружностей w1 и w2, то углы O1XY1 и O2XZ2 тоже являются прямыми.
Используем свойства прямых углов, чтобы найти меру угла YO1X. Если угол ONY1 - прямой, то ONY1 + YO1X = 180 градусов. Аналогично, ONZ2 + ZO2X = 180 градусов.
По условию задачи известно, что сумма мер углов YO1X и ZO2X в 3 раза больше угла YNZ. Обозначим меру угла YO1X как аlpha, меру угла ZO2X - как beta, а меру угла YNZ - как gamma. Тогда alpha + beta = 3*gamma.
Теперь рассмотрим треугольник NYZ. Заметим, что в нем угол NYZ также является прямым углом. Пусть мера угла NYZ равна theta.
Используем свойства треугольника, чтобы найти меру угла YNZ. В треугольнике NYZ, мера угла YNZ + theta + gamma = 180 градусов (сумма углов треугольника).
Теперь можем выразить меру угла YNZ через theta: YNZ = 180 - theta - gamma.
Подставим это выражение в уравнение alpha + beta = 3*gamma:
alpha + beta = 3*(180 - theta - gamma).
Разложим это уравнение и приведем его к виду alpha + beta + 3*gamma = 540 - 3*theta.
Но мы знаем, что alpha + beta + 3*gamma = 2*180 (сумма мер всех углов в треугольнике). Тогда можем записать равенство 2*180 = 540 - 3*theta и решить его:
2*180 = 540 - 3*theta,
360 = 540 - 3*theta,
3*theta = 540 - 360,
3*theta = 180,
theta = 180/3,
theta = 60.
Итак, мера угла NYZ равна 60 градусов.
Теперь осталось найти отношение длин отрезков YZ и NX. Заметим, что треугольник NYZ является равносторонним, так как все его стороны равны. Тогда длина отрезка YZ равна d, где d - расстояние от точки N до точки X.
Также, треугольник ONX подобен треугольнику OY1X (они имеют общий угол OXN). Из этого следует, что соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны.
Обозначим длину отрезка NX как x, а длину отрезка OX как r (где r - радиус окружности).
Из подобия треугольников получаем следующее уравнение: NX/OX = Y1X/O1X,
x/r = d/(2*r).
Упростим это уравнение, умножив обе части на r:
x = d/2.
Таким образом, длина отрезка NX равна половине длины отрезка YZ.
Ответ: отношение длин отрезков YZ : NX равно 2 : 1.
