Для решения данной задачи воспользуемся свойствами касательных и соответствующими тригонометрическими соотношениями. Итак, имеем две окружности w1 и w2 с центрами O1 и O2 соответственно, которые касаются в точке X. Из точки N проведены касательные NY и NZ к окружностям w1 и w2 соответственно. Обозначим углы YO1X и ZO2X как α и β соответственно. Так как NX является общей касательной для окружностей w1 и w2, то угол ONX является прямым углом. Поскольку NY и NZ являются касательными к окружностям, то углы NYX и NZX также являются прямыми углами. Возьмем прямоугольный треугольник ONX, в котором угол ONX равен 90 градусов. По определению тангенса, tg α = NX / ON и tg β = NX / OX. Таким образом, NX = ON * tg α и NX = OX * tg β. Так как углы YO1X и ZO2X в 3 раза больше угла YNZ, то мы можем записать следующее соотношение: α + β = 3 * YNZ Остается только выразить YNZ через известные величины. Обозначим отрезок YN как h1, а отрезок NZ как h2. Из треугольника NYX получаем следующее тригонометрическое соотношение: tg α = h1 / NX Из треугольника NZX имеем: tg β = h2 / NX Подставим значения NX из соотношений выше: tg α = h1 / (ON * tg α) tg β = h2 / (OX * tg β) Сократим соответствующие части: tg^2 α = h1 / ON tg^2 β = h2 / OX Учитывая, что tg α = NX / ON и tg β = NX / OX, получим: (tg α)^2 = h1 / (NX / tg α) = h1 * tg α / NX (tg β)^2 = h2 / (NX / tg β) = h2 * tg β / NX Используем полученные выражения для тангенсов в уравнении α + β = 3 * YNZ: tg α + tg β = 3 * (h1 * tg α / NX + h2 * tg β / NX) Сократим общий множитель: 1 / NX = 3 * (h1 * tg α + h2 * tg β) / NX 1 = 3 * (h1 * tg α + h2 * tg β) Далее, воспользуемся тем фактом, что сумма квадратов тангенсов аддитивна: (tg α)^2 + (tg β)^2 = (h1 * tg α / NX)^2 + (h2 * tg β / NX)^2 (tg α)^2 + (tg β)^2 = h1^2 * tg^2 α / NX^2 + h2^2 * tg^2 β / NX^2 (tg α)^2 + (tg β)^2 = (h1^2 * tg α / NX + h2^2 * tg β / NX) / NX (tg α)^2 + (tg β)^2 = (h1^2 * tg α + h2^2 * tg β) / NX^3 Сократим общий множитель: 1 = (h1^2 * tg α + h2^2 * tg β) / NX^3 Приведем полученное уравнение к квадратному виду: NX^3 = h1^2 * tg α + h2^2 * tg β Таким образом, требуется найти отношение длин отрезков YZ и NX, что означает найти выражение YZ / NX. Воспользуемся теоремой тангенсов для треугольника YNZ: tg YNZ = (h1 + h2) / YZ Осталось выразить YZ через известные величины. Используем полученное выражение для NX^3: NX^3 = h1^2 * tg α + h2^2 * tg β Теперь, заменим выражение для tg α и tg β: NX^3 = h1^2 * (YZ / (h1 + h2)) + h2^2 * (YZ / (h1 + h2)) Упростим выражение: NX^3 = YZ * (h1^2 + h2^2) / (h1 + h2) Подставим выражение для NX, полученное ранее: (YZ * (h1^2 + h2^2) / (h1 + h2))^3 = YZ * (h1^2 + h2^2) / (h1 + h2) Разделим обе части уравнения на YZ * (h1^2 + h2^2) / (h1 + h2): (YZ * (h1^2 + h2^2) / (h1 + h2))^2 = 1 Раскроем скобки: YZ^2 * (h1^2 + h2^2) / (h1 + h2)^2 = 1 Перенесем YZ вправо: YZ = (h1 + h2) / sqrt(h1^2 + h2^2) Таким образом, искомое отношение длин отрезков YZ и NX равно: (YZ / NX) = [(h1 + h2) / (h1 * tg α + h2 * tg β)] * sqrt(h1^2 + h2^2) Полученное выражение дает ответ на поставленную задачу.