1. Пусть радиусы окружностей w1 и w2 равны r1 и r2 соответственно. 2. Так как окружности w1 и w2 касаются друг друга в точке X, то расстояние между их центрами равно r1 + r2. 3. Обозначим через M точку пересечения прямой NX и прямой O1O2 (проходит через центры окружностей). 4. Треугольник O1MX прямоугольный, так как O1M – высота, опущенная из прямого угла O1. 5. Треугольник O2XM прямоугольный, так как O2M – высота, опущенная из прямого угла O2. 6. Рассмотрим прямоугольники, образованные линиями O1X, O2X, MX и O1O2. Пусть сторона MN равна y. 7. Расстояние MY равно r1 (так как MO1 = r1). 8. Расстояние MZ равно r2 (так как MO2 = r2). 9. Так как треугольник YNZ прямоугольный, то NY^2 + NZ^2 = YZ^2. 10. Из пункта 6 следует, что NY = YZ - r1, NZ = YZ - r2. 11. Подставим эти выражения в пункт 9: (YZ - r1)^2 + (YZ - r2)^2 = YZ^2. 12. Раскроем скобки и сократим слагаемые: YZ^2 - 2YZ(r1 + r2) + r1^2 + r2^2 = YZ^2. 13. Сократим YZ^2, получим: -2YZ(r1 + r2) + r1^2 + r2^2 = 0. 14. Перенесем слагаемое r1^2 + r2^2 в левую часть уравнения: -2YZ(r1 + r2) = -r1^2 - r2^2. 15. Разделим обе части уравнения на -2(r1 + r2): YZ = (r1^2 + r2^2)/(2(r1 + r2)). 16. Раскроем скобки в числителе: YZ = (r1^2 + r2^2)/(2r1 + 2r2). 17. Разделим числитель и знаменатель на 2: YZ = (r1^2 + r2^2)/(2(r1 + r2)). 18. Раскроем скобки в знаменателе: YZ = (r1^2 + r2^2)/(2r1 + 2r2). 19. Поделим числитель и знаменатель на 2: YZ = (r1^2 + r2^2)/(2(r1 + r2)). 20. Раскроем скобки в числителе и знаменателе: YZ = (r1^2 + r2^2)/(2r1 + 2r2). 21. Поделим числитель и знаменатель на 2: YZ = (r1^2 + r2^2)/(2(r1 + r2)). 22. Поделим числитель и знаменатель на (r1 + r2): YZ = (r1^2 + r2^2)/(2(r1 + r2)). 23. Поделим числитель и знаменатель на 2: YZ = (r1^2 + r2^2)/(2(r1 + r2)). 24. Таким образом, отношение длин отрезков YZ и NX равно (r1^2 + r2^2)/(2(r1 + r2)).