Пусть радиус окружности w1 равен r1, а радиус окружности w2 равен r2. Тогда отношение длин отрезков YZ и NX можно найти, рассмотрев соотношение сторон в двух подобных треугольниках: треугольнике NYZ и треугольнике NO1X.
Обозначим точку пересечения прямой NO1 и окружности w1 как M. Так как прямая NX является касательной к окружности w1, то треугольник NO1X является прямоугольным, и мы можем использовать его, чтобы найти отношение длин NX и OM.
По свойству касательных к окружности имеем, что угол O1XM прямой, так как O1X и XM — радиусы, а O1M — касательная. Значит, треугольник O1XM прямоугольный.
По условию задачи, сумма углов YO1X и ZO2X равна углу YNZ, то есть угол O1XM равен углу YNZ. Таким образом, треугольники O1XM и NYZ подобны.
Из подобия треугольников NYZ и O1XM следует, что соотношение их сторон равно соотношению их других соответствующих сторон.
Так как YZ и NX — соответствующие стороны в подобных треугольниках, то отношение длин отрезков YZ и NX равно отношению других соответствующих сторон.
Теперь найдем длины этих других соответствующих сторон.
Треугольник NYZ — прямоугольный, так как NY и NZ — касательные к окружностям w1 и w2 соответственно. Пусть угол YNZ равен α.
В прямоугольном треугольнике NYZ угол Y равен 90°-α (комплементарный к α). Значит, по теореме синусов:
sin(90°-α) = length НY / length YZ
sin(α) = length YN / length YZ (так как sin(90°-α) = sin α)
Следовательно,
length YN = length YZ*sin(α).
Теперь рассмотрим треугольник NO1X.
Так как O1M — радиус окружности w1, а O1X — касательная к этой окружности, то треугольник O1MX прямоугольный. Из этого следует, что угол O1 равен 90°.
Также можно заметить, что угол XMY также является прямым, так как точка M — точка пересечения прямой NX (общей касательной) с окружностью w1.
Так как треугольник O1XM прямоугольный, то гипотенуза O1X является диаметром окружности w1, а значит, равна 2*r1.
Так как треугольник XMN прямоугольный, то
cos(α) = length XN / length NX.
Следовательно,
length XN = length NX*cos(α).
Теперь мы можем выразить отношение длин отрезков YZ и NX:
length YN / length XN = length YZ*sin(α) / (length NX*cos(α))
length YZ / length NX = (length YN / length XN) * (cos(α) / sin(α))
length YZ / length NX = (length YN / length XN) * (1 / tan(α)).
Так как мы знаем, что sin(α) = length YN / length YZ и cos(α) = length XN / length NX, то отношение длин отрезков YZ и NX равно
length YZ / length NX = (length YN / length XN) * (1 / (length XN / length NX))
length YZ / length NX = (length YN / length XN) * (length NX / length XN)
length YZ / length NX = length YN / length XN.
Таким образом, отношение длин отрезков YZ и NX равно отношению длин отрезков YN и XN.
Мы выразили отношение длин отрезков YZ и NX через отношение длин YN и XN, что позволяет нам выразить отношение, известное в условии задачи.
Ответ: отношение длин отрезков YZ и NX равно отношению длин отрезков YN и XN.
