Для решения этой задачи воспользуемся свойствами касательных и радиусами окружностей. По условию задачи, окружности w1 и w2 касаются в точке X, а прямая NX является общей касательной этих окружностей. Свойства касательных говорят нам, что угол между касательной и радиусом в точке касания равен 90 градусов. Это значит, что углы O1XY и O2XZ прямые. Дано, что сумма углов YO1X и ZO2X в 2 раза больше угла YNZ. Обозначим эти углы через α, α и 2α соответственно. Так как углы O1XY и O2XZ прямые, то углы YO1X и ZO2X равны 180 - α и 180 - 2α соответственно. Также, угол YNZ равен 180 - 2α. Теперь рассмотрим треугольники YO1X и YNZ. Они имеют общую сторону YX, а углы O1XY и YNZ равны. Следовательно, эти треугольники подобны. Аналогично, треугольники ZO2X и YNZ подобны. Из подобия треугольников YO1X и YNZ получаем соотношение сторон: (O1X / YX) = (YO1 / YN) Из подобия треугольников ZO2X и YNZ получаем соотношение сторон: (O2X / ZX) = (ZO2 / YN) Окружности w1 и w2 касаются в точке X. Радиусы окружностей равны расстояниям от центров O1 и O2 до точки X соответственно. Обозначим радиусы окружностей w1 и w2 через r1 и r2 соответственно. Из свойств касательных, получаем, что (O1X / YX) = r1 и (O2X / ZX) = r2. Теперь можем записать соотношения: r1 / YN = YO1 / YN r2 / YN = ZO2 / YN Отбросим YN, тогда получим: r1 = YO1 r2 = ZO2 Таким образом, r1 равен расстоянию от центра окружности w1 до точки Y, а r2 - от центра окружности w2 до точки Z. Заметим, что теперь у нас есть две суммы углов, в которых участвует угол YNZ: 180 - α + α = 180 180 - 2α + 2α = 180 То есть, выполняется условие задачи. Осталось найти отношение длин отрезков YZ:NX. Обозначим эти отрезки через a и b соответственно. Нам известно, что сумма углов YO1X и ZO2X в 2 раза больше угла YNZ. YO1X + ZO2X = 2 * YNZ 180 - α + 180 - 2α = 2 * (180 - 2α) 360 - 3α = 360 - 4α α = α Таким образом, углы YO1X и ZO2X равны, а значит, углы YO1X и O2XZ тоже равны. Тогда треугольники YNX и ZNX - это равнобедренные треугольники. Найдём отношение a:b по теореме синусов в треугольнике YNX: sin((180 - α)/2) / sin α = a / b sin(90 - α/2) / sin α = a / b cos(α/2) / sin α = a / b (так как sin(90 - x) = cos x) 2 * sin(α/2) * cos(α/2) / sin α = a / b sin α / sin α = a / b (так как sin 2a = 2sin a cos a) 1 = a / b Отношение длин отрезков YZ и NX равно 1. Таким образом, отношение длин отрезков YZ:NX равно 1:1.