Даны окружности w1 и w2 с центрами O1 и O2 соответственно, которые касаются в точке X. Прямая NX является общей касательной к окружностям w1 и w2. Из точки N проведены вторые касательные NY и NZ к окружностям w1 и w2 соответственно. Известно, что сумма углов YO1X и ZO2X равна углу YNZ. Нужно найти отношение длин отрезков YZ и NX. Чтобы решить эту задачу, рассмотрим треугольники YNZ и YXZ. Обозначим точку пересечения прямых NY и NZ как точку M. Поскольку NY и NZ являются касательными к окружностям w1 и w2, соответственно, то треугольники YO1X и YO2X являются прямыми углами (углы между касательной и хордой, проведенной из точки касания). А значит, согласно свойству окружностей, углы O1YX и O2YX также являются прямыми. Также из условия задачи известно, что сумма углов YO1X и ZO2X равна углу YNZ. Значит, O1YX + O2YX = NYX + NZX. Обозначим через a длину отрезка O1X, через b – длину отрезка O2X, через c – длину отрезка O1O2. Тогда O1YX = a, O2YX = b, NYX = c - a и NZX = c - b. Таким образом, получаем, что a + b = (c - a) + (c - b). Упростим это уравнение: a + b = 2c - a - b. Перенеся все члены к одной стороне, получаем: 2a + 2b - 2c = 0. А это значит, что a + b - c = 0. Таким образом, имеется следующее соотношение между длинами отрезков: a + b = c. Теперь рассмотрим треугольник YXZ, в котором BM является высотой. В треугольнике YXZ, угол YXZ равен прямому углу, так как O1YX и O2YX – прямые углы. Также угол NYZ + O1YN = NYX + ZYX = прямому углу. Отсюда следует, что треугольники NZM и O1YM подобны, так как у них соответственные углы равны. Следовательно, имеем: NZ / YZ = ZM / YM = MX / O1M. Также треугольники NYM и O2ZM подобны, так как у них соответственные углы равны. Таким образом, NY / YZ = YM / ZM = O2M / MX. Из равенств NZ / YZ = ZM / YM и NY / YZ = YM / ZM можно сделать вывод, что NZ / NY = ZM / YM. Также, из равенств MX / O1M = O2M / MX, NY / YZ = YM / ZM и NY / YZ = O1M / XY можно сделать вывод, что MX / XY = O1M / MX. Теперь перепишем соотношение NZ / NY = ZM / YM в виде YM / YZ = ZM / NZ. Заметим, что математические рассуждения, данные выше, верны для произвольных треугольников и отношений их сторон. Соотношение MX / XY = O1M / MX можно переписать в виде (MX)² = XY * O1M. Аналогично, соотношение MX / O1M = NZ / NY можно переписать в виде (O1M)² = NY * NZ. Теперь подставим полученные равенства и исходные данные в уравнение, полученное из равенства углов: (MX)² = XY * O1M = XY * (c - a), (O1M)² = NY * NZ. Преобразуем уравнение (O1M)² = NY * NZ: (O1M)² = NY * NZ = (c - a) * (c - b). Поскольку a + b = c, можно представить (c - a) * (c - b) как (c - a) * (a - b). Из уравнения можно сделать вывод, что (O1M)² = NY * NZ = (c - a) * (a - b) = (a - b)². Очевидно, что NY * NZ и (a - b)² – это квадраты отношений длин O1X и O2X соответственно. Теперь рассмотрим треугольник YZX. В этом треугольнике YM является высотой. Так как NM и XY являются параллельными прямыми, основы треугольников NXZ и YZX пропорциональны: YX / YZ = XY / ZN. Также треугольники NYM и O2ZM подобны, так как у них соответственные углы равны. Из равенства NY / YZ = YM / ZM можно сделать вывод, что YM / YZ = ZM / NZ. Также, из равенства ZY / YX = ZM / MX = ZM / (c - a) можно сделать вывод, что MX / (c - a) = YM / YZ. Заметим, что MX – это высота треугольника YZX, проведенная из вершины Y к стороне ZY. Таким образом, получаем следующее соотношение: YM / YZ = MX / ZY. Теперь подставим полученные равенства и исходные данные в уравнение, полученное из равенства углов: YM / YZ = MX / ZY = ZM / NZ = (c - b) / (a - b). Заметим, что YM / YZ = MX / ZY = ZM / NZ – это отношение длин сторон треугольника YZX. Таким образом, мы получили два равенства: NY * NZ = (a - b)², NX * YZ = (c - a) * (a - b). Теперь найдем отношение длин сегментов YZ и NX. Для этого поделим равенства NY * NZ = (a - b)² и NX * YZ = (c - a) * (a - b) друг на друга: (NY * NZ) / (NX * YZ) = [(a - b)²] / [(c - a) * (a - b)]. Теперь заметим, что NY * NZ и NX * YZ – это произведения длин сегментов, лежащих на одной прямой, с точками касания окружностей. То есть эти произведения равны квадратам отношений радиусов окружностей: (NY * NZ) / (NX * YZ) = [(O1X)²] / [(O2X)²]. Но O1X = a и O2X = b, поэтому: [(O1X)²] / [(O2X)²] = a² / b². Таким образом, получаем окончательный результат: отношение длин сегментов YZ и NX равно a² / b² или (длина O1X)² / (длина O2X)².