Пусть радиусы окружностей w1 и w2 равны r1 и r2 соответственно. Обозначим точку пересечения прямой NX и окружности w1 как A, а точку пересечения прямой NX и окружности w2 — как B. Также пусть точка O1 лежит на отрезке O1X и точка O2 лежит на отрезке O2X. Так как обе окружности касаются в точке X, то расстояние между центрами окружностей O1 и O2 равно r1 + r2. Обозначим это расстояние как d. Также обратим внимание, что прямая NX является общей касательной к окружностям w1 и w2. Это означает, что треугольники YNA и ZNB подобны треугольникам YOX и ZOX соответственно. Так как треугольники YNA и YOX подобны, то отношение их сторон должно быть равно. Обозначим отрезки NA и OX как a и b соответственно. Тогда получаем: NA/OX = YN/YO Также, так как треугольники YNZ и ZOX подобны, то отношение их сторон также должно быть равно. Обозначим отрезки NZ и OX как c и b соответственно. Тогда получаем: NZ/OX = ZN/ZO По условию задачи, сумма углов YO1X и ZO2X в два раза больше угла YNZ. Обозначим угол YNZ как α. Тогда углы YO1X и ZO2X равны respectivly 2α и 4α. Так как треугольники YOX и YO1X подобны, то отношение их сторон должно быть равно. Обозначим отрезки YO и O1X как p и q соответственно. Тогда получаем: YO/O1X = YO/OX = YN/NA = YN/b = r1/(a + b) Также, так как треугольники YOX и ZO2X подобны, то отношение их сторон также должно быть равно. Обозначим отрезки YO и O2X как p и q соответственно. Тогда получаем: YO/O2X = YO/OX = YN/NZ = YN/c = r1/(c + b) Так как точки O1 и O2 лежат на отрезках O1X и O2X соответственно, то можно сказать, что a + q = b и c + q = b. Используя все полученные равенства, можем составить уравнение для α: 2α + 4α = α + 2α 6α = 3α α = 0 Так как α = 0, то треугольники YNA и ZNB являются равнобедренными треугольниками, а отрезки YN и ZN являются высотами в этих треугольниках. Находим отношение длин отрезков YZ и NX: YZ/NX = (YN + NZ)/(NA + AB + BX) = (r1 + r2)/(a + 2r1 + b) = (2r1 + d)/(a + b + 2r1) Подставляем найденное ранее значение для a + q и c + q: YZ/NX = (2r1 + (a + q + c + q))/(a + b + 2r1) = (2r1 + (a + c + 2q))/(a + b + 2r1) = (2r1 + ((a + c) + 2b))/(a + b + 2r1) = (2r1 + (a + b + d))/(a + b + 2r1) Но мы знаем, что a + b = d. Подставляем это в уравнение: YZ/NX = (2r1 + (a + b + d))/(a + b + 2r1) = (2r1 + d + d)/(d + 2r1) = (2r1 + d)/(d + 2r1) Заметим, что r1 = (d - r2)/2: YZ/NX = (2((d - r2)/2) + d)/(d + 2((d - r2)/2)) = (2d - r2 + d)/(2d - r2 + d) = (3d - r2)/(3d - r2) = 1 Таким образом, отношение длин отрезков YZ и NX равно 1.