Обозначим точки на рисунке следующим образом: точка N — точка касания прямой NX с окружностью w1, точка Y — точка касания прямой NY с окружностью w1, точка Z — точка касания прямой NZ с окружностью w2, точка X — точка касания окружностей w1 и w2, точка O1 — центр окружности w1, точка O2 — центр окружности w2.
Так как прямая NX является общей касательной для окружностей w1 и w2, то она перпендикулярна радиусам окружностей, проведенным в точках X, O1 и O2. Из построения известно, что она проходит через точки O1 и O2, следовательно, она является общей хордой для окружностей.
Для решения задачи обратимся к геометрическим свойствам хорд окружностей и треугольникам, образованным хордами.
Рассмотрим треугольники YNO1 и ZNO2. Они являются прямоугольными, так как YN и ZN — радиусы окружностей w1 и w2, а прямые NY и NZ являются касательными к окружностям и, следовательно, перпендикулярны радиусу в точке касания. Далее, треугольники YNO1 и ZNO2 подобны, так как у них есть две одинаковые (прямые NY и NZ) и одна общая (NX) стороны.
Из пропорций подобных треугольников имеем:
YZ / YN = NX / NO1 (1)
YZ / ZN = NX / NO2 (2)
Обозначим угол YO1X через α. По условию, сумма углов YO1X и ZO2X равна 2α. Так как они противолежат пересечению двух хорд, то они равны по величине и равны половине величины угла YNZ (противолежащий угол).
Следовательно,
YO1X = ZO2X = α (3)
Угол O1YO2 равен 180°, так как это угол, образованный хордой, проходящей через центры окружностей. Угол O1YO2 равен сумме углов YO1X и ZO2X.
Таким образом, α + α = 180° α* 2 = 180° α = 90°
Теперь можем вычислить длину отрезка NX.
Введем обозначение R1 для радиуса окружности w1 и R2 для радиуса окружности w2.
Из треугольника ZNO2:
sin α = ZN / R2 (4)
cos α = NO2 / R2 (5)
Так как зеркально отраженное значение синуса равно косинусу: sin α = cos (90° − α)
Следовательно: ZN / R2 = cos (90° − α)
cos α = sin (90° − α)
Следовательно: ZN / R2 = sin α (6)
Из уравнений (4) и (6) следует: ZN = R2
Аналогично можно получить: YN = R1
Подставим эти значения в уравнения (1) и (2):
YZ/R1 = NX / NO1 (1')
YZ/R2 = NX / NO2 (2')
Так как по условию задачи сумма углов YO1X и ZO2X в 2 раза больше угла YNZ (α), то радиус NO1 в 2 раза больше радиуса NO2.
NO1 = 2 * NO2
Последний шаг — найти отношение длины отрезка YZ к длине отрезка NX:
YZ/NX = (MANZHNOST NI NA CHTO) =
(YN + NZ) / NX = (R1 + R2) / NX = (R1 + R2) / NO1 = (R1 + R2) / (2 * NO2) =
(R1/NO2 + R2/NO2) / 2 = (NY/NO2 + NZ/NO2) / 2 = YN / NO2 = 1.
Итак, получили, что отношение длин отрезков YZ и NX равно 1.
