Мы имеем следующую схему: - Окружность w1 с центром O1 и радиусом r1 - Окружность w2 с центром O2 и радиусом r2 - Окружности w1 и w2 касаются в точке X - Прямая NX — общая касательная окружностей w1 и w2 Известно, что углы YO1X и ZO2X в 3 раза больше угла YNZ. Обозначим эти углы как α и β соответственно. Тогда угол YNZ будет равен (α + β) / 3. Рассмотрим прямоугольные треугольники NYO1 и NZO2. Угол NXY в треугольнике NYO1 и угол NXZ в треугольнике NZO2 будут прямыми, так как они соответствуют касательным к окружностям. Таким образом, угол NXY = α и угол NXZ = β. Мы получаем следующую систему уравнений: α + β + (α + β) / 3 = 180 (сумма углов треугольника NYZ равна 180 градусов) α + β = 135 (умножим обе части на 3) Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники YO1X и ZO2X. Для упрощения рассуждений предположим, что радиусы окружностей равны r1 = r2 = 1 (выбираем произвольные значения). Таким образом, OD = O1D = O2D = 1, где D — пересечение прямых NX и O1O2. Для нахождения длины отрезка YZ нам нужно найти длину отрезка LX. Из прямоугольного треугольника NYO1 по теореме Пифагора: NO1 = √(1^2 + (2r1)^2) = √5 Из прямоугольного треугольника NZO2 по теореме Пифагора: NO2 = √(1^2 + (2r2)^2) = √5 Так как треугольники NYO1 и NO2 являются равнобедренными, то YO1 = NO1 = √5 и O2X = NO2 = √5. Теперь рассмотрим треугольник NYX. Из прямоугольного треугольника NYX по теореме Пифагора: NX = √(2^2 + (√5)^2) = √(4 + 5) = √9 = 3 Таким образом, отношение длин отрезков YZ и NX равно: YZ / NX = 2 / (3√5) = (2 * √5) / 15 Ответ: 2. Корень из пяти деленный на пятнадцать.