Для начала, построим схему данной задачи: 1. Нарисуем две окружности w1 и w2 с центрами O1 и O2 соответственно. 2. Обозначим точку их касания как X. 3. Проведем общую касательную прямую NX. 4. Проведем касательные NY и NZ к окружностям w1 и w2 соответственно. 5. Обозначим точки касания NY и NZ с окружностями как A и B соответственно. 6. Обозначим угол YNZ как α. 7. Обозначим углы YO1X и ZO2X как β и γ соответственно. Таким образом, у нас есть следующая информация: 1. Окружности w1 и w2 касаются в точке X. 2. Прямая NX - общая касательная окружностей w1 и w2. 3. YO1X + ZO2X = 3α. Нам нужно найти отношение длин отрезков YZ и NX. Давайте рассмотрим основные шаги решения: Шаг 1: Докажем, что треугольники YO1X и ZO2X равны. а) Треугольники YNX и ZNX равны по двум сторонам и одному углу (косинусная теорема), поэтому угол NYZ = α. б) Точка O1 является серединой дуги YB, поэтому угол YO1X = α. в) Точка O2 является серединой дуги XA, поэтому угол ZO2X = α. Таким образом, треугольники YO1X и ZO2X равны. Шаг 2: Из треугольника YZO1 найдем угол YO1Z. Угол YO1Z + угол YO1X + угол ZO1Y = 180° (сумма углов треугольника). Угол YO1X = α (как было доказано ранее), угол YO1Z = β (согласно обозначению в задаче). Таким образом, β + α + угол ZO1Y = 180°. Угол ZO1Y = 180° - β - α. Шаг 3: Легко заметить, что треугольники YZO1 и NZO2 подобны. Они оба имеют углы 90°, угол ZO1Y и угол ZO2N общие, поэтому угол YO1Z = угол ZO2X. Также, соотношение сторон треугольников YZO1 и NZO2: YZ / NX = O1Z / O2N. Шаг 4: Найдем соотношение O1Z и O2N. a) O1Z = O1Y + YZ. O1Y = O1N + NY (O1Y - длина сегмента от O1 до Y, O1N - длина сегмента от O1 до N, NY - длина сегмента от N до Y). Очевидно, что O1N равно радиусу окружности w1. NY - это длина касательной NY, которая по определению равна радиусу окружности w1. Таким образом, O1Y = 2 * R (где R - радиус окружности w1). б) O2N = O2X + NX. O2X = O2N + NX (O2X - длина сегмента от O2 до X, O2N - длина сегмента от O2 до N, NX - длина сегмента от N до X). O2N равно радиусу окружности w2. Очевидно, что NX - это длина касательной NX, которая по определению равна радиусу окружности w2. Таким образом, O2X = 2 * R (где R - радиус окружности w2). в) Подставим полученные значения в соотношение YZ / NX = O1Z / O2N. YZ / NX = (2R + YZ) / (2R + NX). Теперь мы можем решить это уравнение и найти отношение YZ и NX. Заключение: Таким образом, мы рассмотрели систему уравнений и получили выражение для отношения YZ и NX. Решите это уравнение численно, чтобы найти конкретное значение этого отношения.