Рассмотрим задачу подробнее. У нас есть две окружности w1 и w2 с центрами O1 и O2 соответственно, которые касаются в точке X. Прямая NX — общая касательная окружностей w1 и w2. Из точки N проведены вторые касательные NY и NZ к окружностям w1 и w2 соответственно. Нам известно, что сумма углов YO1X и ZO2X в 3 раза больше угла YNZ. Наша задача - найти отношение длин отрезков YZ:NX. Давайте обозначим углы следующим образом: ∠YO1X = α ∠ZO2X = β ∠YNZ = γ У нас есть два касательных отрезка NY и NX к окружности w1, которые равны по длине и образуют прямой угол с радиусами NO1 и O1Y. То же самое можно сказать про касательный отрезок NZ и его отношение к NX такое: ХЗ/ХН = ХУ/ХН = НЗ/НХ ХН^2 = ХУ * ХЗ Теперь обратим внимание на разность углов: γ = α - β (поскольку угол YO1X образуется ближе к O1, а угол NZO2 ближе к O2) Тогда мы можем записать уравнение: α + β = 3γ Из этого уравнения мы можем получить следующее: α = 2γ и β = γ Теперь мы можем записать уравнение для отношения длин отрезков: YZ/NX Согласно информации, полученной ранее, мы можем сказать, что: ХУ^2 = ХЗ * ХН ZY^2 = ZN * XN Разделим первое уравнение на второе и получим искомое отношение: (YZ/NX)^2 = (XU / XN) * (XN / ZN) (YZ/NX)^2 = (XU / ZN) Теперь нам нужно выразить XU и ZN через известные значения. Так как у нас есть прямоугольные треугольники NO1X и NO2X, а углы этих треугольников известны, мы можем использовать тригонометрические соотношения. В треугольнике NO1X у нас есть прямой угол между O1X и O1Y, поэтому нам известно, что tg(α) = O1Y / O1X O1Y = O1X * tg(α) = O1X * tg(2γ) = O1X * (2tg(γ) / (1 - tg^2(γ))) Точно так же в треугольнике NO2X у нас есть прямой угол между O2X и O2Z, и мы можем записать: O2Z = O2X * tg(β) = O2X * tg(γ) Теперь мы можем подставить эти значения в наше уравнение для отношения длин отрезков: (YZ/NX)^2 = (XU / ZN) (XU / ZN) = ((O1X * (2tg(γ) / (1 - tg^2(γ)))) / (O2X * tg(γ))) Сокращая O1X и O2X, получим: (XU / ZN) = (2tg(γ) * (1 - tg^2(γ))) / tg(γ) (XU / ZN) = 2tg(γ) * (1 - tg^2(γ)) Теперь остается только выразить tg(γ) через известные значения. Для этого рассмотрим треугольник YNZ: tg(γ) = (ZY / ZN) tg^2(γ) = (ZY^2 / ZN^2) = (ZN * XN) / ZN^2 = XN / ZN Подставим это выражение в предыдущую формулу: (XU / ZN) = 2tg(γ) * (1 - tg^2(γ)) (XU / ZN) = 2(XN / ZN) * (1 - XN / ZN) (XU / ZN) = (2XN - XN^2) / ZN Теперь мы должны получить выражение только с известными значениями. Нам известно, что XU = XN + NU, а также заметим, что NU = NZ. Тогда мы можем заменить XU и NU в выражении: (XN + NU / ZN) = (2XN - XN^2) / ZN (XN + NZ) / ZN = (2XN - XN^2) / ZN NX / ZN = (2XN - XN^2) / ZN NX = 2XN - XN^2 0 = XN - XN^2 - NX 0 = XN(1 - XN) + NX 0 = XN(1 - XN + 1) 0 = XN(2 - XN) XN = 0 или XN = 2 Рассмотрим оба случая: 1) XN = 0 Это означает, что точка X находится на прямой YZ, что не является возможным. Поэтому этот случай нам не подходит. 2) XN = 2 Теперь рассмотрим треугольник ONX. Так как точка X лежит на общей касательной, которая является перпендикуляром к ON, то мы можем сказать, что ∠XON = 90°. Тогда мы можем применить теорему Пифагора к этому треугольнику: ON^2 = OX^2 + XN^2 OX^2 = ON^2 - XN^2 OX^2 = 2^2 - 2^2 OX^2 = 4 - 4 OX^2 = 0 OX = 0 Окончательно можем сказать, что отношение длин отрезков YZ:NX = YZ/0 = ∞ Таким образом, ответ на задачу - отношение длин отрезков YZ:NX равно ∞. 3) Вариант 23–√32 не подходит, так как ∆XN = (√3)^2 + 1 = 4 . √3 примерно равно 1,7. Если ∆XN = 4, то 23–√32 > 23–(1,7)^2 > 23–2,9 > 20,6 - это противоречит допустимому промежутку. Окончательно можем сказать, что ответ на задачу - отношение длин отрезков YZ:NX равно ∞.