Рассмотрим задачу подробнее.
У нас есть две окружности w1 и w2 с центрами O1 и O2 соответственно, которые касаются в точке X. Прямая NX — общая касательная окружностей w1 и w2.
Из точки N проведены вторые касательные NY и NZ к окружностям w1 и w2 соответственно.
Нам известно, что сумма углов YO1X и ZO2X в 3 раза больше угла YNZ.
Наша задача - найти отношение длин отрезков YZ:NX.
Давайте обозначим углы следующим образом:
∠YO1X = α
∠ZO2X = β
∠YNZ = γ
У нас есть два касательных отрезка NY и NX к окружности w1, которые равны по длине и образуют прямой угол с радиусами NO1 и O1Y. То же самое можно сказать про касательный отрезок NZ и его отношение к NX такое:
ХЗ/ХН = ХУ/ХН = НЗ/НХ
ХН^2 = ХУ * ХЗ
Теперь обратим внимание на разность углов: γ = α - β (поскольку угол YO1X образуется ближе к O1, а угол NZO2 ближе к O2)
Тогда мы можем записать уравнение: α + β = 3γ
Из этого уравнения мы можем получить следующее: α = 2γ и β = γ
Теперь мы можем записать уравнение для отношения длин отрезков: YZ/NX
Согласно информации, полученной ранее, мы можем сказать, что:
ХУ^2 = ХЗ * ХН
ZY^2 = ZN * XN
Разделим первое уравнение на второе и получим искомое отношение:
(YZ/NX)^2 = (XU / XN) * (XN / ZN)
(YZ/NX)^2 = (XU / ZN)
Теперь нам нужно выразить XU и ZN через известные значения.
Так как у нас есть прямоугольные треугольники NO1X и NO2X, а углы этих треугольников известны, мы можем использовать тригонометрические соотношения.
В треугольнике NO1X у нас есть прямой угол между O1X и O1Y, поэтому нам известно, что tg(α) = O1Y / O1X
O1Y = O1X * tg(α) = O1X * tg(2γ) = O1X * (2tg(γ) / (1 - tg^2(γ)))
Точно так же в треугольнике NO2X у нас есть прямой угол между O2X и O2Z, и мы можем записать:
O2Z = O2X * tg(β) = O2X * tg(γ)
Теперь мы можем подставить эти значения в наше уравнение для отношения длин отрезков:
(YZ/NX)^2 = (XU / ZN)
(XU / ZN) = ((O1X * (2tg(γ) / (1 - tg^2(γ)))) / (O2X * tg(γ)))
Сокращая O1X и O2X, получим:
(XU / ZN) = (2tg(γ) * (1 - tg^2(γ))) / tg(γ)
(XU / ZN) = 2tg(γ) * (1 - tg^2(γ))
Теперь остается только выразить tg(γ) через известные значения. Для этого рассмотрим треугольник YNZ:
tg(γ) = (ZY / ZN)
tg^2(γ) = (ZY^2 / ZN^2) = (ZN * XN) / ZN^2 = XN / ZN
Подставим это выражение в предыдущую формулу:
(XU / ZN) = 2tg(γ) * (1 - tg^2(γ))
(XU / ZN) = 2(XN / ZN) * (1 - XN / ZN)
(XU / ZN) = (2XN - XN^2) / ZN
Теперь мы должны получить выражение только с известными значениями. Нам известно, что XU = XN + NU, а также заметим, что NU = NZ.
Тогда мы можем заменить XU и NU в выражении:
(XN + NU / ZN) = (2XN - XN^2) / ZN
(XN + NZ) / ZN = (2XN - XN^2) / ZN
NX / ZN = (2XN - XN^2) / ZN
NX = 2XN - XN^2
0 = XN - XN^2 - NX
0 = XN(1 - XN) + NX
0 = XN(1 - XN + 1)
0 = XN(2 - XN)
XN = 0 или XN = 2
Рассмотрим оба случая:
1) XN = 0
Это означает, что точка X находится на прямой YZ, что не является возможным. Поэтому этот случай нам не подходит.
2) XN = 2
Теперь рассмотрим треугольник ONX.
Так как точка X лежит на общей касательной, которая является перпендикуляром к ON, то мы можем сказать, что ∠XON = 90°.
Тогда мы можем применить теорему Пифагора к этому треугольнику:
ON^2 = OX^2 + XN^2
OX^2 = ON^2 - XN^2
OX^2 = 2^2 - 2^2
OX^2 = 4 - 4
OX^2 = 0
OX = 0
Окончательно можем сказать, что отношение длин отрезков YZ:NX = YZ/0 = ∞
Таким образом, ответ на задачу - отношение длин отрезков YZ:NX равно ∞.
3) Вариант 23–√32 не подходит, так как ∆XN = (√3)^2 + 1 = 4 .
√3 примерно равно 1,7. Если ∆XN = 4, то 23–√32 > 23–(1,7)^2 > 23–2,9 > 20,6 - это противоречит допустимому промежутку.
Окончательно можем сказать, что ответ на задачу - отношение длин отрезков YZ:NX равно ∞.
