Для решения данной задачи воспользуемся свойствами касательных и свойствами касательных углов.
Из условия задачи следует, что прямые NX и O1X являются касательными к окружности w1 и w2 соответственно. По свойству касательных, угол O1X равен прямому углу и составляет 90 градусов: ∠O1X = 90°.
Также, из условия задачи следует, что угол YNZ равен сумме углов YO1X и ZO2X: ∠YNZ = ∠YO1X + ∠ZO2X.
Поскольку ∠O1X = 90°, то ∠YO1X равен сумме ∠YOX и ∠O1X, то есть ∠YO1X = 90° + ∠YOX.
Аналогично, ∠ZO2X равен сумме ∠ZOX и ∠O2X, то есть ∠ZO2X = 90° + ∠ZOX.
Подставляя эти значения в уравнение для угла YNZ, получаем:
∠YNZ = (90° + ∠YOX) + (90° + ∠ZOX).
Упростим выражение, объединяя похожие слагаемые:
∠YNZ = 180° + ∠YOX + ∠ZOX.
Теперь, зная, что ∠YNZ = ∠YOZ (по свойству парных углов), заменим ∠YNZ на ∠YOZ:
∠YOZ = 180° + ∠YOX + ∠ZOX.
Отсюда следует, что ∠YOZ - ∠ZOX - ∠YOX = 180°.
Заметим, что ∠YOZ - ∠ZOX - ∠YOX = ∠YOZ - (∠ZOX + ∠YOX) = ∠YOZ - ∠YOX.
Таким образом, получаем, что ∠YOZ - ∠YOX = 180°.
Для простоты обозначим ∠YOZ как α.
Тогда получим уравнение α - ∠YOX = 180°.
Из этого уравнения можно выразить ∠YOX как разность α и 180°:
∠YOX = α - 180°.
Далее, воспользуемся свойством касательных углов.
Углы ∠YOX и ∠O1X составляют пару вертикальных углов (по свойству вертикальных углов, вертикальные углы равны между собой): ∠YOX = ∠O1X.
Подставим в выражение для ∠YOX найденное равенство:
∠O1X = α - 180°.
Заметим, что ∠O1X равен 90° (из условия задачи), поэтому:
90° = α - 180°.
Перенесем 180° на левую сторону:
α = 90° + 180° = 270°.
Таким образом, мы нашли значение угла α, равное 270°.
Теперь рассмотрим прямую O1X.
Она является радиусом окружности w1 и, следовательно, радиусом окружности равен r1.
Также, по условию задачи, прямая NX является общей касательной окружностей w1 и w2, следовательно, она касается окружности w1 в точке X и окружности w2 в точке Y.
Вспомним свойство касательной, которое гласит, что касательные, проведенные к окружности из одной точки к ее точкам пересечения с другой окружностью, равны.
То есть, отрезок O1X равен отрезку O2Y.
Также, по условию задачи, известно, что отрезок O1Y равен отрезку O2X.
Теперь мы можем применить теорему Пифагора и найти отношение длин отрезков YZ и NX.
Обозначим длину отрезка YZ как d, а длину отрезка NX как n.
Тогда, по теореме Пифагора, имеем:
r1^2 = (n + d)^2 + d^2,
r2^2 = n^2 + (n + d)^2,
где r1 и r2 - радиусы окружностей w1 и w2 соответственно.
Подставим в эти уравнения значения отрезков O1X и O1Y:
r1^2 = (n + d)^2 + d^2,
r2^2 = n^2 + (n + d)^2.
Заметим, что по условию задачи r1 и r2 - это радиусы окружностей w1 и w2, которые являются равными.
Обозначим радиусы окружностей как r.
Тогда получаем:
r^2 = (n + d)^2 + d^2,
r^2 = n^2 + (n + d)^2.
Из этих уравнений можно составить систему:
(n + d)^2 + d^2 = n^2 + (n + d)^2,
d^2 = n^2.
Подставим второе уравнение в первое:
(n + n)^2 + n^2 = n^2 + (n + n)^2,
n^2 + 4n^2 = n^2 + 4n^2,
5n^2 = 5n^2.
Отсюда следует, что n = n.
То есть, отношение длин отрезков YZ и NX равно 1:1.
