Для решения данной задачи воспользуемся свойствами касательных и свойствами касательных углов. Из условия задачи следует, что прямые NX и O1X являются касательными к окружности w1 и w2 соответственно. По свойству касательных, угол O1X равен прямому углу и составляет 90 градусов: ∠O1X = 90°. Также, из условия задачи следует, что угол YNZ равен сумме углов YO1X и ZO2X: ∠YNZ = ∠YO1X + ∠ZO2X. Поскольку ∠O1X = 90°, то ∠YO1X равен сумме ∠YOX и ∠O1X, то есть ∠YO1X = 90° + ∠YOX. Аналогично, ∠ZO2X равен сумме ∠ZOX и ∠O2X, то есть ∠ZO2X = 90° + ∠ZOX. Подставляя эти значения в уравнение для угла YNZ, получаем: ∠YNZ = (90° + ∠YOX) + (90° + ∠ZOX). Упростим выражение, объединяя похожие слагаемые: ∠YNZ = 180° + ∠YOX + ∠ZOX. Теперь, зная, что ∠YNZ = ∠YOZ (по свойству парных углов), заменим ∠YNZ на ∠YOZ: ∠YOZ = 180° + ∠YOX + ∠ZOX. Отсюда следует, что ∠YOZ - ∠ZOX - ∠YOX = 180°. Заметим, что ∠YOZ - ∠ZOX - ∠YOX = ∠YOZ - (∠ZOX + ∠YOX) = ∠YOZ - ∠YOX. Таким образом, получаем, что ∠YOZ - ∠YOX = 180°. Для простоты обозначим ∠YOZ как α. Тогда получим уравнение α - ∠YOX = 180°. Из этого уравнения можно выразить ∠YOX как разность α и 180°: ∠YOX = α - 180°. Далее, воспользуемся свойством касательных углов. Углы ∠YOX и ∠O1X составляют пару вертикальных углов (по свойству вертикальных углов, вертикальные углы равны между собой): ∠YOX = ∠O1X. Подставим в выражение для ∠YOX найденное равенство: ∠O1X = α - 180°. Заметим, что ∠O1X равен 90° (из условия задачи), поэтому: 90° = α - 180°. Перенесем 180° на левую сторону: α = 90° + 180° = 270°. Таким образом, мы нашли значение угла α, равное 270°. Теперь рассмотрим прямую O1X. Она является радиусом окружности w1 и, следовательно, радиусом окружности равен r1. Также, по условию задачи, прямая NX является общей касательной окружностей w1 и w2, следовательно, она касается окружности w1 в точке X и окружности w2 в точке Y. Вспомним свойство касательной, которое гласит, что касательные, проведенные к окружности из одной точки к ее точкам пересечения с другой окружностью, равны. То есть, отрезок O1X равен отрезку O2Y. Также, по условию задачи, известно, что отрезок O1Y равен отрезку O2X. Теперь мы можем применить теорему Пифагора и найти отношение длин отрезков YZ и NX. Обозначим длину отрезка YZ как d, а длину отрезка NX как n. Тогда, по теореме Пифагора, имеем: r1^2 = (n + d)^2 + d^2, r2^2 = n^2 + (n + d)^2, где r1 и r2 - радиусы окружностей w1 и w2 соответственно. Подставим в эти уравнения значения отрезков O1X и O1Y: r1^2 = (n + d)^2 + d^2, r2^2 = n^2 + (n + d)^2. Заметим, что по условию задачи r1 и r2 - это радиусы окружностей w1 и w2, которые являются равными. Обозначим радиусы окружностей как r. Тогда получаем: r^2 = (n + d)^2 + d^2, r^2 = n^2 + (n + d)^2. Из этих уравнений можно составить систему: (n + d)^2 + d^2 = n^2 + (n + d)^2, d^2 = n^2. Подставим второе уравнение в первое: (n + n)^2 + n^2 = n^2 + (n + n)^2, n^2 + 4n^2 = n^2 + 4n^2, 5n^2 = 5n^2. Отсюда следует, что n = n. То есть, отношение длин отрезков YZ и NX равно 1:1.