Пусть R1 и R2 - радиусы окружностей w1 и w2 соответственно. Так как w1 и w2 касаются друг друга в точке X, то O1X и O2X - общие касательные этих окружностей. Также NX - общая касательная. Из данного условия следует, что треугольники XO1N и XO2N подобны. В треугольнике XO1N по теореме синусов: sinAO1X = NX / XO1 = 2R1 / NX (1) Аналогично, в треугольнике XO1Y: sinO1XY = O1Y / XY = 2R1 / XY (2) Угол O1XY равен полусумме углов O1YX и O1XY. угол O1YX = u1 = arcsin( O1Y / O1X ) угол O1XY = u2 = arcsin( XO1 / O1X ) Так как треугольники XO1Y и XO1N подобны, то углы u1 и u2 будут равны углу XO1N: угол u1 + угол u2 = 2 * угол XO1N = угол YNZ (3) Теперь получим уравнение для углов YO1X и ZO2X. Так как треугольник XO1Y равнобедренный, то угол XYO1 равен углу OXY1. Пусть этот угол равен a. Тогда углы YO1X и ZO2X равны 180 - 2a. По условию, сумма углов YO1X и ZO2X в 3 раза больше угла YNZ: (180 - 2a) + (180 - 2a) = 3 * угол YNZ 360 - 4a = 3 * угол YNZ (4) Теперь подставим равенства (1), (2) и (3) в (4): 360 - 4 * arcsin( O1Y / O1X ) = 3 * угол YNZ Данное уравнение можно разрешить относительно O1Y / O1X. Но для упрощения задачи мы можем ввести новую переменную z = O1Y / XY, так как O1Y и XY - стороны треугольника XO1N, то их отношение не зависит от их длин. Таким образом, мы можем записать новое уравнение: 360 - 4 * arcsin(z/2) = 3 * угол YNZ Мы знаем, что угол YNZ = arcsin( 2R1 / XY) (из уравнения (2)) Теперь мы можем выразить z через R1 и XY и решить полученное уравнение. Так как R1 = O1X и XY = NX + NY (по теореме Пифагора), то мы получаем: 360 - 4 * arcsin( z/2 ) = 3 * arcsin( 2 * R1 / (NX + NY)) Теперь найдем отношение YZ и NX. По теореме Пифагора в треугольнике NYZ: YZ^2 = NY^2 + ZY^2 По теореме Пифагора в треугольнике XNY и XNZ: NX^2 + NY^2 = XY^2 = NX^2 + (NZ + ZY)^2 NY^2 = (NZ + ZY)^2 Подставим NY^2 и ZY^2 в уравнение для YZ^2: YZ^2 = (NZ + ZY)^2 + ZY^2 = NZ^2 + 2 * NZ * ZY + 2 * ZY^2 Теперь найдем отношение YZ и NX: ( YZ / NX)^2 = ( NZ^2 + 2 * NZ * ZY + 2 * ZY^2) / NX^2 Так как NZ = 2R2, ZY = R2 и NX = 2R1, то мы получаем: ( YZ / NX)^2 = (4R2^2 + 4 * R2 * R1 + 2 * R2^2) / (2 * R1)^2 ( YZ / NX)^2 = (10R2^2 + 4 * R2 * R1) / (4R1^2) Теперь мы можем найти отношение YZ и NX.