Пусть R1 и R2 - радиусы окружностей w1 и w2 соответственно. Также обозначим точки M и P - точки касания прямой NX с окружностями w1 и w2 соответственно.
Так как прямая NX является общей касательной к окружностям w1 и w2, то точки M и P лежат на прямой, проходящей через точку X и перпендикулярной касательной, проведенной из точки X (пусть точка O - точка пересечения прямой XN и прямой, проходящей через центры окружностей O1 и O2 и перпендикулярной к прямой XN).
Пусть точка Y лежит на окружности w1 и точка Z - на окружности w2.
Так как прямая NY является касательной к окружности w1, то угол YNZ = 90 градусов. Также угол XO1Y = 90 градусов, так как прямая, проходящая через центр окружности O1 и точку Y, является радиусом окружности w1.
Из данного условия получаем, что угол XO1Y = 90 градусов и угол YO1X = 2 * угла YNZ.
Рассмотрим треугольник O1YM. Так как угол XO1Y = 90 градусов, то треугольник O1YM - прямоугольный с прямым углом в точке Y. Из теоремы Пифагора получаем, что у O1PY^2 = O1Y^2 + O1P^2.
Аналогично рассмотрим треугольник O2ZP. Так как угол XO2Z = 90 градусов, то треугольник O2ZP - прямоугольный с прямым углом в точке Z. Из теоремы Пифагора получаем, что у O2P^2 = O2Z^2 + O2Z^2.
Очевидно, что O1P = O2P. Так как O1Y = R1 и O2Z = R2, то из равенства O1P = O2P следует, что O1Y^2 + O1P^2 = O2Z^2 + O2P^2. Но O1Y^2 + O1P^2 = O1P^2 + R1^2, а O2Z^2 + O2P^2 = O2P^2 + R2^2. Поэтому R1^2 = R2^2. Из этого следует, что R1 = R2.
Теперь рассмотрим треугольники O1YX и O2ZX. Так как O1Y = R1 и O2Z = R2, то из равенства R1 = R2 следует, что O1Y = O2Z. Углы O1XY и O2XZ - прилежащие катетов углы в прямоугольных треугольниках O1YX и O2ZX соответственно. Так как угол XO1Y = 90 градусов и угол XO2Z = 90 градусов, то угол YXO1 = углу XZ - угол YZX = углу O1XY - углу O2XZ. Из этого следует, что угол O1XY = углу O2XZ = углу O2YX.
Таким образом, углы O1XY и O2YX равны. Значит, треугольники O1XY и O2YX подобны.
Поэтому, отношение длин отрезков YZ:NX равно отношению диаметров окружностей w1 и w2, то есть R1:R2 = 1:1. Таким образом, отношение длин отрезков YZ:NX равно 1:1.
