Для начала рассмотрим геометрические свойства данной задачи. Заметим, что точка X является точкой касания окружностей w1 и w2, а значит, прямая NX является общей касательной для этих окружностей. Также из задачи известно, что из точки N проведены вторые касательные NY и NZ к окружностям w1 и w2 соответственно. Углы YNZ и ZNX являются вписанными углами, так как они соответствуют дугам NY и NZ, а значит, они равны половине их дуг, то есть замеряют в градусах по половине измерения. Теперь перейдем к решению задачи. Обозначим через M и L точки пересечения прямых O1X и O2X с прямой YZ соответственно. <img src="images/task.png"> Из условия задачи известно, что сумма углов YO1X и ZO2X в 5 раз больше угла YNZ: YO1X + ZO2X = 5 * YNZ Угол YO1X равен сумме углов MYO1 и MYX, так как эти углы образуют прямоугольный треугольник MYO1X. Аналогично, угол ZO2X равен сумме углов LZO2 и LZX, так как эти углы образуют прямоугольный треугольник LZO2X. Следовательно, уравнение выше можно записать следующим образом: (MYO1 + MYX) + (LZO2 + LZX) = 5 * (YNZ/2) (MYO1 + MYX + LZO2 + LZX) = 5 * (YNZ/2) Также из геометрических свойств известно, что угол MYX равен углу LZX, так как они являются вертикально противоположными. Аналогично, угол MYO1 равен углу LZO2. Следовательно, уравнение можно продолжить следующим образом: (MYO1 + LZO2) + 2 * MYX = 5 * (YNZ/2) (MYO1 + LZO2) + 2 * MYX = 5 * YNZ/2 Учитывая, что MYX = LZX, заменим 2 * MYX на 2 * LZX: (MYO1 + LZO2) + 2 * LZX = 5 * YNZ/2 MYO1 + LZO2 + 2 * LZX = 5 * YNZ/2 Теперь рассмотрим треугольники NYO1 и NZO2. Заметим, что у этих треугольников общий угол YNZ, так как прямые NY и NZ касаются окружностей w1 и w2, а значит, они образуют равные вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу YNZ. Следовательно, треугольники NYO1 и NZO2 являются подобными. Значит, отношение длин их сторон будет одинаково: YO1/NZ = NY/OP где OP - это диаметр окружности w2. Диаметр OP можно найти, используя свойство симметрии окружностей. Заметим, что вертикальные прямые NY и NZ являются высотами в треугольниках NMY и NMZ, и они пересекаются на прямой XO2. Так как NMY и NMZ являются прямоугольными треугольниками, перпендикуляры NY и NZ являются гипотенузами, а прямая XO2 является их высотой. Отношение длин гипотенуз и высот в прямоугольном треугольнике равно 2:1. Следовательно, отношение диаметров окружностей w1 и w2 также равно 2:1: OD/OP = 2/1 Зная, что OD = 2 * R, где R - радиус окружности w1, можем записать уравнение: 2 * R/OP = 2/1 2 * R/OP = 2 Выразим OP через R: OP = 2 * R/2 OP = R Следовательно, отношение YO1/NZ равно 1: YO1/NZ = NY/OP YO1/R = NY/R YO1 = NY Подставим это значение в предыдущее уравнение: MYO1 + LZO2 + 2 * LZX = 5 * YNZ/2 MYO1 + LZO2 + 2 * LZX = 5 * NY/2 MYO1 + LZO2 + 2 * LZX = 5 * YO1/2 (так как NY = YO1) Получили уравнение с одной переменной YO1. Теперь найдем его решение. Рассмотрим треугольник YO1X. Заметим, что углы YO1X и O1YX являются вертикально противоположными, а значит, они равны. Также заметим, что угол O1YX равен половине угла MYO1, так как они соответствуют одной дуге XY. Следовательно, угол YO1X равен половине угла MYO1. Аналогичные рассуждения можно провести для треугольника ZO2X и угла ZO2X: угол ZO2X = половине угла LZO2. Также заметим, что углы YO1X и ZO2X являются смежными, так как они соответствуют дугам XS, где S - точка пересечения окружностей w1 и w2. Следовательно, угол YO1X + ZO2X = половине угла MYO1 + половине угла LZO2. Заменим эти углы в предыдущем уравнении: MYO1 + LZO2 + 2 * LZX = 5 * YO1/2 2 * (YO1X + ZO2X) + 2 * LZX = 5 * YO1/2 2 * (YO1X + ZO2X) + 2 * LZX = 5 * YO1/2 * 2 2 * (YO1X + ZO2X) + 2 * LZX = 5 * YO1 Теперь можем решить это уравнение относительно YO1X + ZO2X: 2 * (YO1X + ZO2X) + 2 * LZX = 5 * YO1 2 * (YO1X + ZO2X) = 5 * YO1 - 2 * LZX YO1X + ZO2X = (5 * YO1 - 2 * LZX)/2 YO1X + ZO2X = 5 * (YO1 - LZX/5)/2 YO1X + ZO2X/5 = 5 * (YO1 - LZX/5)/2 (так как ZO2X/5 = LZX/5) Теперь найдем величину угла YNZ. Рассмотрим треугольник YNZ. Заметим, что углы YO1X и YNZ являются смежными, так как они соответствуют дугам YX. Следовательно, угол YO1X + YNZ = 180 градусов. Известно, что сумма углов YO1X и ZO2X в 5 раз больше угла YNZ: YO1X + ZO2X = 5 * YNZ YO1X + YNZ = 180 градусов YO1X = 180 - YNZ Подставим это значение в предыдущее уравнение: YO1X + ZO2X/5 = 5 * (YO1 - LZX/5)/2 180 - YNZ + ZO2X/5 = 5 * (YO1 - LZX/5)/2 Учитывая, что угол ZO2X равен половине угла LZO2 и угол YNZ равен половине угла YO1: 180 - 0.5 * LZO2 + ZO2X/5 = 5 * (0.5 * YO1 - LZX/5)/2 Упростим уравнение: 180 - 0.5 * LZO2 + ZO2X/5 = 0.5 * YO1 - LZX/5 Учитывая, что YO1 = NY, опустим индексы: 180 - 0.5 * LZO + 2 * LZX/10 = 0.5 * Y - LZX/5 Умножим уравнение на 10, чтобы избавиться от дробей: 1800 - 5 * LZO + 2 * LZX = 5 * Y - 2 * LZX 1800 - 5 * LZO = 5 * Y Учитывая, что Y = 2 * X, получим: Y = 360 - LZO/5 Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники MYO1X и LZO2X. В треугольнике MYO1X угол MYX равен углу LZX, так как они являются вертикально противоположными. Также заметим, что угол MYX равен половине угла MYO1, так как они соответствуют одной и той же дуге XY. Аналогичные рассуждения можно провести для треугольника LZO2X и угла LZX: угол LZX = половине угла LZO2. Значит, угол MYX = углу MYO1/2 и угол LZX = углу LZO2/2. Из свойств прямоугольных треугольников также известно, что сумма углов MYO1X и MYX = 90 градусов. Аналогично, сумма углов LZO2X и LZX = 90 градусов. Следовательно, угол MYO1X равен 90 - углу MYX и угол LZO2X равен 90 - углу LZX. Рассмотрим треугольники NYO1 и NZO2. Учитывая, что из треугольника MYO1X следует, что угол MYX равен углу YON, и из треугольника LZO2X следует, что угол LZX равен углу ZON, получим: угол YON = 90 - углу MYO1X угол ZON = 90 - углу LZO2X Теперь рассмотрим треугольники YON и ZON. Заметим, что у них общий угол ONZ, так как прямые NY и NZ касаются окружностей w1 и w2 и образуют равные вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу ONZ. Таким образом, треугольники YON и ZON являются подобными. Значит, отношение длин их сторон будет один