Пусть радиусы окружностей w1 и w2 равны r1 и r2 соответственно. Тогда расстояние между центрами O1 и O2 будет равно r1 + r2 (так как окружности касаются друг друга). Пусть точка касания общей касательной NX с окружностью w1 находится на расстоянии d1 от точки X, а точка касания с окружностью w2 находится на расстоянии d2 от точки X. Так как NX — общая касательная к окружностям w1 и w2, то треугольники O1XN и O2XN подобны. Из подобия треугольников получаем следующие соотношения: d1 / (r1 - d1) = d2 / (r2 - d2) - отношение длин отрезков NX:O1X или NX:O2X (1) r1 / (r1 - d1) = r2 / (r2 - d2) - отношение O1X:XN или O2X:XN (2) Также нам дано, что сумма углов YO1X и ZO2X равна углу YNZ. Из подобия треугольников O1XN и O1YZ получаем, что YO1X = YNZ - YO1Z (3) Также из подобия треугольников O2XN и O2YZ получаем, что ZO2X = YNZ - ZO2Y (4) Подставим (3) и (4) в уравнение, равное сумме углов YO1X и ZO2X: YNZ - YO1Z + YNZ - ZO2Y = YNZ 2YNZ - YO1Z - ZO2Y = YNZ YNZ = YO1Z + ZO2Y (5) Обратим внимание, что угол YO1Z равен 90 градусам, так как является углом между радиусом O1Z и касательной YZ. Аналогично, угол ZO2Y равен 90 градусам. Поэтому (5) превращается в: YNZ = 90 + 90 = 180 градусов Таким образом, сумма углов YO1X и ZO2X равна 180 градусам. Вернемся к уравнению (3): YO1X = YNZ - YO1Z Учитывая, что сумма углов YO1X и ZO2X равна 180 градусам и угол YO1X равен YNZ - YO1Z, получим: YNZ - YO1Z + ZO2X = 180 2YO1Z - ZO2X = 180 (6) Аналогично, используя уравнение (4) и учитывая, что сумма углов YO1X и ZO2X равна 180 градусам, получим: 2ZO2Y - YO1X = 180 (7) Из уравнений (6) и (7) можно выразить YO1Z и ZO2Y через YO1X и ZO2X: YO1Z = (180 - ZO2X) / 2 (8) ZO2Y = (180 - YO1X) / 2 (9) Теперь найдем отношение длин отрезков YZ и NX. Для начала найдем отношение длин отрезков O1X и O2X с помощью уравнения (2): r1 / (r1 - d1) = r2 / (r2 - d2) Переформулируем это уравнение: r1 * (r2 - d2) = r2 * (r1 - d1) r1 * r2 - r1 * d2 = r2 * r1 - r2 * d1 r1 * d2 - r2 * d1 = 0 r1 * d2 = r2 * d1 d2 / d1 = r2 / r1 Таким образом, отношение длин отрезков O1X и O2X равно r2 / r1. Теперь найдем отношение длин отрезков NX и YZ с помощью уравнения (1): d1 / (r1 - d1) = d2 / (r2 - d2) Так как d2 / d1 = r2 / r1, можно переписать это уравнение следующим образом: d1 / (r1 - d1) = (r2 / r1) * (d1 / (r2 - d1)) (r2 - d1) * d1 = (r1 - d1) * (r2 / r1) * d1 r2 * d1 - d1^2 = r1 * r2 - r1 * d1 r2 * d1 - r1 * r2 = d1^2 - r1 * d1 d1 * (r2 - r1) = d1 * (d1 - r1) r2 - r1 = d1 - r1 r2 = d1 Таким образом, d1 равно радиусу w2 - r2. Тогда отношение длин отрезков NX и YZ будет равно: NX / YZ = (r2 / r1) = (d1 / r1) = ((w2 - r2) / r1) = ((r1 + r2 - r2) / r1) = (r1 / r1) = 1. Таким образом, отношение длин отрезков YZ и NX равно 1.