Для решения этой задачи воспользуемся свойствами касательных и углов в окружности. Постараемся систематизировать информацию, чтобы понять, какой угол и какой отрезок требуется найти. Из условия задачи мы знаем, что окружности w1 и w2 касаются в точке X. Мы также знаем, что прямая NX является общей касательной к этим окружностям. Найдем сначала угол YNZ. Поскольку NY и NZ являются касательными к окружностям w1 и w2, то они перпендикулярны радиусам, проведенным в точках касания (так как касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания). Обозначим угол YNZ через α. Тогда угол YO1X, образованный между касательной NY и радиусом O1X, будет также равен α (почему?). Следовательно, сумма углов YO1X и ZO2X будет равна 2α. Из условия задачи также известно, что сумма углов YO1X и ZO2X в 2 раза больше угла YNZ. Поэтому: 2α = 2 · YNZ Разделив обе части уравнения на 2, получим: α = YNZ Таким образом, мы доказали, что угол YNZ равен α. Теперь нам нужно найти отношение длин отрезков YZ и NX. Обратимся снова к свойствам касательных. Поскольку NY является касательной к окружности w1, а ZN к окружности w2, сегменты YN и ZN должны быть равными. Так как угол YNZ равен α, то угол NYZ также равен α. Мы теперь можем рассмотреть треугольник NYZ. Он является прямоугольным, с углами YNZ и ZNY, равными α. Получается, что треугольник NYZ - равнобедренный прямоугольный треугольник, у которого два равных угла и две равные стороны. Следовательно, NY = ZN. Теперь вернемся к треугольнику NXZ. Он также является прямоугольным, с углами NXZ и NZX, равными α. Отрезок NX является гипотенузой этого треугольника, а NY и ZN - его катетами. Так как NY = ZN, то катеты этого треугольника равны между собой. А значит, треугольник NXZ - равнобедренный, а углы NXZ и NZX равны между собой. Так как сумма углов треугольника равна 180°, получаем: α + α + угол XNZ = 180° 2α + угол XNZ = 180° Так как углы YNZ и NZX равны между собой, получаем: 2α + 2α = 180° 4α = 180° Разделим обе части уравнения на 4, получаем: α = 45° Итак, угол YNZ равен 45°. Теперь рассмотрим треугольник NYZ. У него угол NYZ равен 45°, а остальные два угла треугольника (YNY и ZNZ) - прямые. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, найдем оставшийся угол треугольника: 90° + 90° + угол YZ = 180° 180° - 180° = угол YZ Угол YZ равен 0°. Что же это означает? Это значит, что отрезок YZ является прямой линией. Вернемся к отношению длин отрезков YZ и NX. Отрезок NX является хордой окружности w1 и является основанием треугольника YNX. Треугольник NZX также является прямоугольным. Поэтому отрезок YX является одной из его катетов. Таким образом, отношение длин отрезков YZ и NX равно: YZ/NX = YZ/YX Поскольку YX - гипотенуза прямоугольного треугольника NZX, мы должны использовать соотношение тангенса для такого треугольника: tan(угол NZX) = YZ/YX угол NZX равен α, поэтому получаем: tan(α) = YZ/YX Угол α равен 45°. Также мы знаем, что tg(45°) = 1. Получается: 1 = YZ/YX Отношение длин отрезков YZ и NX равно 1. Итак, ответ на задачу: отношение длин отрезков YZ и NX равно 1.