Для решения этой задачи воспользуемся свойствами касательных и углов в окружности. Постараемся систематизировать информацию, чтобы понять, какой угол и какой отрезок требуется найти.
Из условия задачи мы знаем, что окружности w1 и w2 касаются в точке X. Мы также знаем, что прямая NX является общей касательной к этим окружностям.
Найдем сначала угол YNZ.
Поскольку NY и NZ являются касательными к окружностям w1 и w2, то они перпендикулярны радиусам, проведенным в точках касания (так как касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания).
Обозначим угол YNZ через α. Тогда угол YO1X, образованный между касательной NY и радиусом O1X, будет также равен α (почему?). Следовательно, сумма углов YO1X и ZO2X будет равна 2α.
Из условия задачи также известно, что сумма углов YO1X и ZO2X в 2 раза больше угла YNZ. Поэтому:
2α = 2 · YNZ
Разделив обе части уравнения на 2, получим:
α = YNZ
Таким образом, мы доказали, что угол YNZ равен α.
Теперь нам нужно найти отношение длин отрезков YZ и NX.
Обратимся снова к свойствам касательных. Поскольку NY является касательной к окружности w1, а ZN к окружности w2, сегменты YN и ZN должны быть равными.
Так как угол YNZ равен α, то угол NYZ также равен α. Мы теперь можем рассмотреть треугольник NYZ. Он является прямоугольным, с углами YNZ и ZNY, равными α.
Получается, что треугольник NYZ - равнобедренный прямоугольный треугольник, у которого два равных угла и две равные стороны. Следовательно, NY = ZN.
Теперь вернемся к треугольнику NXZ. Он также является прямоугольным, с углами NXZ и NZX, равными α. Отрезок NX является гипотенузой этого треугольника, а NY и ZN - его катетами.
Так как NY = ZN, то катеты этого треугольника равны между собой. А значит, треугольник NXZ - равнобедренный, а углы NXZ и NZX равны между собой.
Так как сумма углов треугольника равна 180°, получаем:
α + α + угол XNZ = 180°
2α + угол XNZ = 180°
Так как углы YNZ и NZX равны между собой, получаем:
2α + 2α = 180°
4α = 180°
Разделим обе части уравнения на 4, получаем:
α = 45°
Итак, угол YNZ равен 45°.
Теперь рассмотрим треугольник NYZ. У него угол NYZ равен 45°, а остальные два угла треугольника (YNY и ZNZ) - прямые.
Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, найдем оставшийся угол треугольника:
90° + 90° + угол YZ = 180°
180° - 180° = угол YZ
Угол YZ равен 0°.
Что же это означает? Это значит, что отрезок YZ является прямой линией. Вернемся к отношению длин отрезков YZ и NX.
Отрезок NX является хордой окружности w1 и является основанием треугольника YNX. Треугольник NZX также является прямоугольным. Поэтому отрезок YX является одной из его катетов.
Таким образом, отношение длин отрезков YZ и NX равно:
YZ/NX = YZ/YX
Поскольку YX - гипотенуза прямоугольного треугольника NZX, мы должны использовать соотношение тангенса для такого треугольника:
tan(угол NZX) = YZ/YX
угол NZX равен α, поэтому получаем:
tan(α) = YZ/YX
Угол α равен 45°. Также мы знаем, что tg(45°) = 1.
Получается:
1 = YZ/YX
Отношение длин отрезков YZ и NX равно 1.
Итак, ответ на задачу: отношение длин отрезков YZ и NX равно 1.
