Даны окружности $w_1$ и $w_2$ с центрами $O_1$ и $O_2$ соответственно, которые касаются в точке $X$. Прямая $NX$ является общей касательной к окружностям $w_1$ и $w_2$. Из точки $N$ проведены вторые касательные $NY$ и $NZ$ к окружностям $w_1$ и $w_2$ соответственно. Требуется найти отношение длин отрезков $YZ$ к $NX$.
Для начала рассмотрим треугольник $NYZ$. Поскольку $NY$ и $NZ$ - касательные к окружностям, то углы $NYZ$ и $NZY$ являются прямыми углами. Также, так как $w_1$ и $w_2$ касаются в точке $X$, то угол $NXZ$ также является прямым углом.
<img src="https://i.ibb.co/0q2D7rQ/geometry.png" alt="geometry" border="0">
Таким образом, имеем следующую систему уравнений:
[
begin{cases}
NYZ + NZY = 180^{circ} \
YO_1X + ZO_2X = 2 cdot YNZ
end{cases}
]
Воспользуемся следующим свойством: угол $alpha$ вписанный в дугу $AB$ окружности радиусом $R$ равен половине меры этой дуги, т.е. $alpha = frac{1}{2} cdot stackrel{frown}{AB}$.
Так как окружности $w_1$ и $w_2$ касаются в точке $X$, то дуги $O_1X$ и $O_2X$ равны друг другу. Пусть $O_1X = O_2X = 2alpha$. Тогда $stackrel{frown}{O_1X} = stackrel{frown}{O_2X} = 4alpha$.
Так как $YO_1X$ - соответствующий угол дуги $O_1X$, то $YO_1X = 2alpha$. Аналогично, $ZO_2X = 2alpha$. Тогда углы $YO_1X$ и $ZO_2X$ представляют собой углы, соответствующие дугам $O_1X$ и $O_2X$ соответственно:
[
YO_1X = frac{1}{2} cdot stackrel{frown}{O_1X} = frac{1}{2} cdot 4alpha = 2alpha
]
[
ZO_2X = frac{1}{2} cdot stackrel{frown}{O_2X} = frac{1}{2} cdot 4alpha = 2alpha
]
Используя свойство касательной, заметим, что треугольник $NYO_1$ и треугольник $NZO_2$ - подобные $triangle$-ки (по принципу "общая ветвь"). Так как соответствующие углы этих треугольников равны, то:
[
frac{NY}{NZ} = frac{YO_1}{ZO_2} = frac{2alpha}{2alpha} = 1
]
Теперь рассмотрим треугольник $NYX$. Углы $NYX$ и $YNX$ являются прямыми углами, поскольку $NY$ и $NX$ - касательные к окружности $w_1$. Также угол $YXN$ является вписанным углом и равен половине дуги $YY_1$:
[
YXN = frac{1}{2} cdot stackrel{frown}{YY_1} = frac{1}{2} cdot 2alpha = alpha
]
Таким же образом рассмотрим треугольник $NZX$. Углы $NZX$ и $ZNX$ являются прямыми углами, поскольку $NZ$ и $NX$ - касательные к окружности $w_2$. Также угол $ZXN$ является вписанным углом и равен половине дуги $ZZ_2$:
[
ZXN = frac{1}{2} cdot stackrel{frown}{ZZ_2} = frac{1}{2} cdot 2alpha = alpha
]
Также заметим, что треугольники $YO_1X$ и $ZNZ_2$ - подобные. Действительно, углы $YO_1X$ и $ZNZ_2$ - углы, соответствующие дугам $O_1X$ и $Z_2X$:
[
YO_1X = frac{1}{2} cdot stackrel{frown}{O_1X} = frac{1}{2} cdot 4alpha = 2alpha
]
[
ZNZ_2 = frac{1}{2} cdot stackrel{frown}{Z_2X} = frac{1}{2} cdot 4alpha = 2alpha
]
Таким образом:
[
frac{NY}{NZ} = frac{YO_1}{ZO_2} = frac{YX}{ZX} = frac{NX}{NX} = 1
]
Теперь рассмотрим треугольник $NYZ$. Углы $NYZ$ и $ZNX$ являются вертикальными углами и равны. Также, угол $NZY$ представляет собой угол вписанный, равный половине дуги $ZZ_1$:
[
NZY = frac{1}{2} cdot stackrel{frown}{ZZ_1} = frac{1}{2} cdot 4alpha = 2alpha
]
Тогда углы $NZY$ и $YO_1X$ представляют собой углы, соответствующие дуге $XZ_1$, так как эти углы являются вертикальными углами:
[
YO_1X = frac{1}{2} cdot stackrel{frown}{XZ_1} = frac{1}{2} cdot 4alpha = 2alpha
]
Тогда угол $YO_1X$ равен углу $NZY$:
[
YO_1X = NZY
]
Угол $NYZ$ равен сумме углов $NYZ$ и $ZNX$:
[
NYZ = NZY + ZNX = 2alpha + alpha = 3alpha
]
Также, предполагается, что сумма углов $YO_1X$ и $ZO_2X$ в два раза больше угла $YNZ$:
[
2 cdot YNZ = YO_1X + ZO_2X = 2alpha + 2alpha = 4alpha
]
Тогда $YNZ = 2alpha$. Применяя закон синусов в треугольнике $YNZ$, получаем:
[
sin YNZ = frac{YZ}{NY} = frac{YZ}{NZ} = frac{2alpha}{2alpha} = 1
]
Так как $sin YNZ = 1$, то угол $YNZ$ равен $90^{circ}$. Таким образом:
[
YNZ = 90^{circ} = 2alpha implies alpha = frac{90^{circ}}{2} = 45^{circ}
]
Теперь заметим, что треугольник $XYN$ - прямоугольный, поскольку угол $NYX = 90^{circ}$. Тогда, по теореме Пифагора:
[
XY^2 = NY^2 + NX^2
]
Раскроем скобки во втором уравнении системы уравнений:
[
NY^2 + NZ^2 = (YZ + ZN)^2 = YZ^2 + 2 cdot YZ cdot ZN + ZN^2 = YZ^2 + ZN^2 + 2 cdot YZ cdot NZ
]
Также заметим, что треугольник $XNZ$ - прямоугольный, а значит, по теореме Пифагора:
[
XZ^2 = NX^2 + NZ^2
]
Левые части в обоих уравнениях равны, а значит и их правые части равны:
[
NY^2 + YZ^2 + 2 cdot YZ cdot NZ = NX^2 + NX^2
]
Раскроем скобки:
[
NY^2 + YZ^2 + 2 cdot YZ cdot NZ = 2 cdot NX^2 + 2 cdot NX^2
]
Сократим на 2:
[
NY^2 + YZ^2 + YZ cdot NZ = 2 cdot NX^2
]
Так как $NY = NZ = NX$, то:
[
NY^2 + YZ^2 + YZ cdot NY = 2 cdot NY^2
]
Перенесем все слагаемые влево:
[
YZ^2 + YZ cdot NY = NY^2
]
Теперь рассмотрим треугольник $NYX$. Углы $NYX$ и $YNX$ равны, так как являются прямыми углами, а также, угол $YXN$ равен $alpha = 45^{circ}$. Значит, треугольник $NYX$ - равнобедренный, и $NY = NX$. Подставим это значение в уравнение:
[
YZ^2 + YZ cdot NY = NY^2
]
Умножим все слагаемые на 4, чтобы избавиться от дробных чисел:
[
4 cdot YZ^2 + 4 cdot YZ cdot NY = 4 cdot NY^2
]
Применим те же шаги, как и ранее:
[
4 cdot YZ^2 + YZ cdot NY = 2 cdot NY^2
]
Так как $NY = NX$, то:
[
4 cdot YZ^2 + YZ cdot NX = 2 cdot NX^2
]
Таким образом, получаем уравнение, которое выражает отношение длин отрезков $YZ$ и $NX$:
[
frac{YZ}{NX} = frac{2 cdot NX^2 - 4 cdot YZ^2}{YZ cdot NX}
]
Данное уравнение позволяет выразить отношение искомых величин через длины отрезков $NY$ и $NY$:
[
frac{YZ}{NX} = frac{2 cdot NX^2 - 4 cdot YZ^2}{YZ cdot NX}
]
Данное уравнение позволяет найти искомое отношение длин отрезков $YZ$ и $NX$ при известных длинах отрезков $NY$ и $NY$.
