1. Нарисуем схему задачи для более ясного представления:

     X

   / | 

  /  |  

 O1  |   O2

    |  /

    | /

    N/

     |

     Y

     |

     Z

   

2. Заметим, что угол YO1X равен углу ZO2X, так как каждый из них - угол между радиусом и касательной. Обозначим эти углы через α. 3. Также известно, что угол YNZ равен α/5. 4. Рассмотрим треугольники NO1Y и NO2Z. Они являются прямоугольными, так как углы YNY1 и ZNZ2 прямые. 5. В треугольнике NO1Y углы NO1Y и YO1N дополнительны, то есть их сумма равна 180°. Аналогично, в треугольнике NO2Z углы NO2Z и ZO2N также дополнительны. 6. Пусть углы NO1Y и ZO2N равны α1 и α2 соответственно. Тогда углы YO1N и NO1Y равны 180° - α1. 7. Заметим, что углы YO1N и NO2Z также равны 180° - α2. Ведь это углы в треугольниках NO1Y и NO2Z и они противолежат равным сторонам NY и NZ. 8. Теперь мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник NYZ. Углы его суммируются в 180°. 9. Пусть угол NYZ равен β. Тогда угол NZY равен α2 - β. 10. Заметим, что сумма углов YO1X и ZO2X равна двойному углу NYZ: α + α = 2β. Отсюда получаем, что β = α/2. 11. Из условия задачи известно, что α + α = 5(β). Подставим α/2 вместо β: α + α = 5(α/2), 2α = 5α/2, 4α = 5α, α = 4β = 4(α/2) = 2α. 12. Получили, что α = 2α. Отсюда следует, что α = 0°. Нулевой угол означает, что YNX - прямая. Значит, прямая NY проходит через X. 13. Поскольку NY и NZ - касательные к окружностям, то NX является общей касательной. 14. Отношение длин отрезков YZ и NX равно 1:1. Это следует из равных углов NYZ и NYX, так как угол NYZ равен прямому углу, а угол NYX также равен прямому углу (так как прямая NY проходит через X). 15. Итак, отношение длин отрезков YZ и NX равно 1:1.