Рассмотрим треугольник YNZ. Угол YNZ — это угол между касательной и радиусом окружности. В треугольнике YNZ все углы должны быть меньше 180 градусов, поэтому угол YNZ является острым углом.
Также задано, что сумма углов YO1X и ZO2X в 2 раза больше угла YNZ, то есть:
YO1X + ZO2X = 2YNZ
Рассмотрим треугольник YNX. Угол YNX также является острым углом, так как он между касательной и радиусом окружности.
Также известно, что касательные, проведенные из точки N к окружностям, являются вторыми касательными. Вторая касательная к окружности является перпендикуляром к радиусу, проведенному из точки касания.
Это значит, что углы YNX и ZNX также являются прямыми углами.
Теперь рассмотрим треугольник YO1X. Угол YO1X является полуострым или тупым, так как он расположен между перпендикуляром и касательной окружности.
Поскольку сумма углов YO1X и ZO2X равна 2YNZ, а угол YNX является прямым углом, мы можем записать следующее:
YO1X + ZO2X = 2YNZ
YO1X + ZO2X = 2(YNX + XNZ)
YO1X + ZO2X = 2(90° + XNZ)
YO1X + ZO2X = 180° + 2XNZ
Таким образом, угол YO1X + ZO2X должен быть равен 180° + 2XNZ.
Поскольку угол YO1X является полуострым или тупым, его максимальное значение составляет 180°.
Таким образом, мы получаем неравенство:
180° + 2XNZ ≤ 180°
Это означает, что угол YO1X должен быть равным нулю, что возможно только если точка Y совпадает с точкой O1.
Таким образом, треугольники YO1X и XO1N являются прямоугольными.
Рассмотрим теперь треугольник XO2Z. Угол XO2Z также является полуострым или тупым, так как он расположен между перпендикуляром и касательной окружности.
Аналогично, поскольку угол YO1X + ZO2X равен нулю, мы получаем неравенство:
180° + 2XNZ ≤ 180°
Это означает, что угол XO2Z должен быть равным нулю, что возможно только если точка Z совпадает с точкой O2.
Таким образом, треугольники XO2Z и ZO2N являются прямоугольными.
Обозначим длину отрезка YZ как d1 и длину отрезка NX как d2.
Тогда, поскольку треугольники YO1X и XO1N являются прямоугольными, мы можем применить теорему Пифагора и записать следующее:
d1² + d2² = O1X²
Аналогично, поскольку треугольники XO2Z и ZO2N являются прямоугольными, мы можем записать следующее:
d1² + d2² = O2X²
Так как Y и Z совпадают соответственно с O1 и O2, мы можем положить O1X равным O2X и записать следующее:
d1² + d2² = O1X² = O2X²
Таким образом, значение длин отрезков YZ и NX будет равно величине O1X или O2X.
Ответ: отношение длин отрезков YZ и NX равно 1:1.
