Поставим задачу на геометрическую вероятность Заметим, что данная задача равнозначна следующей задаче: Пусть точка N находится на расстоянии R от окружности w1 и на расстоянии r от окружности w2. Точка N выбирается случайным образом на окружности w1. Найдите вероятность того, что отношение длин отрезков YZ:NX равно K. Доказательство задачи Рассмотрим две окружности в пространстве: одну с центром O1 и радиусом R и другую с центром O2 и радиусом r. Пусть точка N — некоторая точка, удалённая от окружности с центром O1 на расстояние R и от окружности с центром O2 на расстояние r. Точка M — точка пересечения прямой NX с окружностью O2. Рассмотрим отношение длин отрезков YZ и NX. По теореме тангенций имеем: YZ = r * tg(YNZ/2) NX = R * tg(YO1X/2) Тогда отношение длин отрезков YZ и NX равно: YZ/NX = r*tg(YNZ/2) / R*tg(YO1X/2) Таким образом, задача свелась к нахождению вероятности того, что отношение этого выражения равно K. Заметим, что точка N на окружности O1 выбирается случайно с равномерным распределением. Следовательно, задача сводится к нахождению вероятности того, что отношение r*tg(YNZ/2) / R*tg(YO1X/2) равно K при случайном выборе точки N на окружности O1. Решение задачи Для нахождения вероятности, воспользуемся методом геометрической вероятности. Заметим, что точки Y и Z являются точками касания вторичных касательных NY и NZ к окружностям O1 и O2 соответственно. Точки Y и Z выбираются случайно на окружностях O1 и O2 при случайном выборе точки N на окружности O1. Таким образом, точки Y и Z тоже будут распределены равномерно на окружностях O1 и O2 соответственно. Обозначим длины дуг окружностей O1 и O2 через α и β соответственно, а длину дуги YZ через γ. Тогда, вероятность того, что точки Y и Z будут лежать на дугах соответственно α и β равна: P(Y на дуге O1) = α/2π P(Z на дуге O2) = β/2π Так как точки Y и Z выбираются независимо друг от друга, вероятность того, что точки Y и Z будут одновременно находиться на дугах соответственно α и β равна: P(Y на дуге O1 и Z на дуге O2) = (α/2π) * (β/2π) = αβ / (4π^2) Теперь находим условную вероятность того, что отношение r*tg(YNZ/2) / R*tg(YO1X/2) равно K при условии, что точки Y и Z находятся на дугах соответственно α и β: P(YNZ / YO1X = K | Y на дуге O1 и Z на дуге O2) = (|dφ1/dt|)*(|dφ2/dt|) / (|g1(dφ1) / dt|)*(|g2(dφ2) / dt|) где φ1 и φ2 — углы поворота отрезков YNZ и YO1X относительно начальных положений относительно положения, при котором точки Y и Z находятся на дугах соответственно α и β, dφ1/dt и dφ2/dt — производные функций g1 и g2 по t в точках соответственно φ1 и φ2. Остаётся определить функции g1 и g2, определяющие отношение dfrac{r cdot tan(frac{φ_1}{2})}{R cdot tan(frac{φ_2}{2})}. g1(t) = r*tg(φ1/2) g2(t) = R*tg(φ2/2) Очевидно, что функции g1 и g2 монотонно возрастают при φ1 ∈ [0, α] и φ2 ∈ [0, β], так как tg(x) монотонно возрастает на данном интервале. Тогда производные dφ1/dt и dφ2/dt равны: dφ1/dt = (2π*r) / α dφ2/dt = (2π*R) / β Таким образом, вероятность того, что отношение r*tg(φ1/2) / R*tg(φ2/2) равно K при условии, что точки Y и Z находятся на дугах соответственно α и β будет равна: P(YNZ / YO1X = K | Y на дуге O1 и Z на дуге O2) = (|r/R|)*(|β/α|) = rβ / Rα Итак, вероятность того, что отношение r*tg(YNZ/2) / R*tg(YO1X/2) равно K равна среднему значению условной вероятности P(YNZ / YO1X = K | Y на дуге O1 и Z на дуге O2) по всем возможным дугам соответственно α и β. Учитывая, что длина дуги может принимать значения от 0 до 2π, получим: P(YNZ / YO1X = K) = 1/(2π) * ∫(0;2π) rβ / Rα dα Вычислим этот интеграл: ∫(0;2π) rβ / Rα dα = rβ * (1/(Rα)) | (0;2π) = (rβ * (1/(R*2π))) * (2π - 0) = β/r. Таким образом, вероятность того, что отношение длин отрезков YZ/NX равно K равна β/r. Ответ: отношение длин отрезков YZ/NX равно β/r.