Обозначим радиусы окружностей w1 и w2 через r1 и r2 соответственно. Пусть точки O1 и O2 имеют координаты (0, 0) и (d, 0) соответственно, где d - расстояние между центрами окружностей. Так как окружности w1 и w2 касаются в точке X, то координаты точки X равны (r1, 0). Построим прямую NX параллельную оси OX и обозначим точки пересечения с окружностями w1 и w2 через Y1 и Z2 соответственно. Так как NX является общей касательной, то угол NXY1 равен 90 градусов, а угол NXZ2 равен 90 градусов. Так как Y1N и YN касаются окружности w1, то угол Y1XN также равен 90 градусов. Аналогично, угол ZXN равен 90 градусов. Пусть точка Y2 - точка пересечения прямой O2Y1 с окружностью w2, а точка Z1 - точка пересечения прямой O1Z2 с окружностью w1. Так как Y1N и Z2N касаются окружностей w1 и w2 соответственно, то углы Y1NO1 и Z2NO2 также равны 90 градусов. Таким образом, фигуру, образованную точками Y1, Y2, N, Z2 и Z1, можно рассматривать как прямоугольник со сторонами Y1Y2 и Z1Z2. Так как фигура Y1Y2NZ2Z1 - прямоугольник, то углы Y1Y2Z2 и Y1Z2Z1 равны 90 градусов. По условию задачи, известно, что сумма углов YO1X и ZO2X в 2 раза больше угла YNZ. Угол YO1X равен сумме углов Y1XN и Y1NO1. Угол ZO2X равен сумме углов ZXN и Z2NO2. Так как угол NXY1, Y1XN и Y1Z2 равны 90 градусов, то угол Y1XN равен углу Y1Z2 на 90 градусов, а угол Y1NO1 равен углу Y1Z2 на 180 градусов. Таким же образом, угол Z2NO2 равен углу Y1Z2 на 90 градусов, а угол ZXN равен углу Y1Z2 на 180 градусов. Так как сумма углов YO1X и ZO2X в 2 раза больше угла YNZ, то угол Y1Z2 должен быть равен углу YNZ. Таким образом, угол Y1Z2 равен углу YNZ и равен 180 градусов. Получается, что фигура Y1NZ - выпуклый четырехугольник, в котором угол Y1Z2 равен 180 градусов. Так как каждый угол выпуклого четырехугольника меньше 180 градусов, то это невозможно. Значит, задача некорректна. Отношение длин отрезков YZ и NX невозможно найти, так как задача не имеет решения.