Рассмотрим данную геометрическую задачу. По условию, окружности w1 и w2 касаются в точке X, причем прямая NX является общей касательной этих окружностей. Введем обозначения: - О1 - центр окружности w1, - О2 - центр окружности w2, - N - точка, из которой проведены касательные к окружностям w1 и w2, - Y и Z - точки касания касательных NY и NZ с окружностями w1 и w2 соответственно. Мы должны найти отношение длин отрезков YZ и NX. Обратим внимание, что треугольники NYO1 и NZO2 являются прямыми треугольниками, так как YN и ZN являются касательными к окружностям w1 и w2 соответственно, а прямые, проведенные из точек касания касательных, радиуса они перпендикулярны и радиус окружности является радиус-вектором. Поэтому углы YO1X и ZO2X являются прямыми углами. Воспользуемся данным условием: Сумма углов YO1X и ZO2X в 5 раз больше угла YNZ. То есть, 5 * ∠YNZ = ∠YO1X + ∠ZO2X. Угол YO1X является прямым углом, поэтому ∠YO1X = 90°. Заменим значение ∠YO1X в уравнении: 5 * ∠YNZ = 90° + ∠ZO2X. Угол ∠ZO2X также является прямым углом, поэтому ∠ZO2X = 90°. Подставим это значение обратно в уравнение: 5 * ∠YNZ = 90° + 90°. 5 * ∠YNZ = 180°. ∠YNZ = 180° / 5. ∠YNZ = 36°. Таким образом, угол YNZ равен 36°. Из дополнительности углов, можно сделать вывод, что ∠YO1X + ∠ZO2X = 180°. Подставляя значения ∠YO1X = 90° и ∠ZO2X = 90°, получаем: 90° + 90° = 180°. Таким образом, данный факт подтверждается. Теперь рассмотрим треугольник YNZ. Так как они прямые треугольники, то ∠YNZ = 90°. Также было найдено значение угла YNZ равным 36°. Следовательно, ∠NZY = 90° - 36° = 54°. Следовательно, ∠NZY = 54°. В треугольнике YNZ нашли все углы: 90°, 36° и 54°. Такой треугольник называется прямоугольным треугольником. Теперь перейдем к отношению длин отрезков YZ и NX. По свойствам прямоугольного треугольника, мы знаем, что отношение длин катетов треугольника к длине гипотенузы равно sin(угол противолежащий этому катету). В треугольнике YNZ, катетом является отрезок YZ, а гипотенузой - отрезок NY. То есть, отношение длин YZ и NY равно sin(угол YNZ). Воспользуемся тригонометрической функцией синуса для нахождения этого отношения. sin(угол YNZ) = sin(36°). Теперь найдем значение синуса 36° с помощью калькулятора: sin(36°) ≈ 0.58779. Итак, отношение длин YZ и NY составляет примерно 0.58779. Теперь рассмотрим треугольник O1XO2. Окружности w1 и w2 касаются в точке X, а радиусы окружностей проведены из центров O1 и O2 соответственно. Данный треугольник является равнобедренным, так как радиусы окружностей являются радиус-векторами и одинаковой длины. То есть, отрезки O1X и O2X являются радиусами окружностей и равны между собой. Обозначим длину отрезка O1X как а, а длину отрезка O2X как а. Таким образом, а = а. Обратим внимание, что отрезки YN и NZ являются касательными к окружностям w1 и w2 соответственно. По свойству касательных и радиусов окружностей, касательная, проведенная из точки касания касательных, перпендикулярна радиусу. Таким образом, отрезки YN и NZ являются высотами равнобедренного треугольника YO1X и ZO2X соответственно. Заметим, что эти отрезки являются перпендикулярными к основанию треугольника: YN ⊥ O1X и NZ ⊥ XZ. Обозначим отрезок YN как h1, а отрезок NZ как h2. Так как треугольник O1XO2 является равнобедренным, то медиана, проведенная из вершины равна основанию, является биссектрисой этого треугольника. Поэтому медиана O1O2 делит этот треугольник пополам. Итак, медиана O1O2 является высотой равнобедренного треугольника O1XO2. Обозначим отрезок O1O2 как h3. Так как медиана делит треугольник на две равные части, то h1 = h3 / 2 и h2 = h3 / 2. Подставим значения h1 = h3 / 2 и h2 = h3 / 2 в уравнение: h1 + h2 = h3 / 2 + h3 / 2. h1 + h2 = h3. Заменим значения h1 и h2 на YN и NZ соответственно: YN + NZ = O1O2. Таким образом, длина отрезка YZ (YN + NZ) равна длине медианы O1O2. Вывод: Отношение длин отрезков YZ и NX равно 0.58779 или примерно 3:5.