<p>Данная задача решается при помощи геометрической интерпретации и использовании свойств касательных и углов. Разберемся поэтапно:</p>
<p>1. Обозначим точки на рисунке следующим образом:</p>
<p> - C – центр окружности w1;
- К – центр окружности w2;
- Х – точка касания окружностей w1 и w2;
- N – точка пересечения прямых NX и ОС (ОС - радиус окружности w1, а расстояние ОС – радиус окружности w2);
- Y – точка касания прямой NY с окружностью w1;
- Z – точка касания прямой NZ с окружностью w2.</p>
<p>2. Согласно свойствам касательных:</p>
<p> - Угол YCX равен прямому углу, так как YC является касательной к окружности в точке Y;
- Угол OCX равен прямому углу, так как расстояние от O до Х – радиус окружности w2;
- Угол YO1X равен прямому углу, так как расстояние от O1 до Х – радиус окружности w1.</p>
<p>3. По условию задачи угол 3 * угол YNZ равен сумме углов YO1X и ZO2X. То есть:</p>
<p>3 * угол YNZ = угол YO1X + угол ZO2X.</p>
<p>4. Заметим, что угол OCX является углом полного оборота (360°) минус угол XO2C. То есть: OCX = 360° - XO2C.</p>
<p>5. Также заметим, что угол YCX является углом полного оборота минус угол XO1C. То есть: YCX = 360° - XO1C.</p>
<p>6. Рассмотрим теперь угол YO1X. По свойству касательной к окружности: YCX = YO1X - YO1C,</p>
<p>а следовательно: YO1X = YCX + YO1C = (360° - XO1C) + YO1C = 360° - (XO1C - YO1C).</p>
<p>7. Аналогично для угла ZO2X: ZO2X = 360° - (XO2C - ZO2C).</p>
<p>8. Подставим выражения для углов YO1X и ZO2X в формулу из п. 3:</p>
<p>3 * угол YNZ = (360° - (XO1C - YO1C)) + (360° - (XO2C - ZO2C)).</p>
<p>9. Сделаем замену угла YO1C на угол YOC, так как треугольники YO1C и YOC имеют 2 равных угла и сторону OY (общую).</p>
<p>То есть: YO1C = YOC.</p>
<p>Также заменим угол ZO2C на угол ZOK, так как треугольники ZO2C и ZOK имеют 2 равных угла и сторону OZ (общую).</p>
<p>То есть: ZO2C = ZOK.</p>
<p>10. Подставим эти замены в исходное равенство:</p>
<p>3 * угол YNZ = (360° - (XO1C - YOC)) + (360° - (XO2C - ZOK)).</p>
<p>11. Учтем, что XO1C = ZOK, так как треугольники XO1C и ZOK имеют 2 равных угла и сторону OX (обеими равны).</p>
<p>То есть: XO1C = ZOK.</p>
<p>Также учтем, что XO2C = YOC, так как треугольники XO2C и YOC имеют 2 равных угла и сторону OX (обеими равны).</p>
<p>То есть: XO2C = YOC.</p>
<p>12. Подставим эти равенства в предыдущее выражение:</p>
<p>3 * угол YNZ = (360° - 2 * (YOC - XO1C)) + (360° - 2 * (YOC - XO1C)).</p>
<p>13. Упростим это выражение:</p>
<p>3 * угол YNZ = 360° - 4 * (YOC - XO1C) + 360° - 4 * (YOC - XO1C).</p>
<p>14. Выразим угол YOС через угол YNZ:</p>
<p>4 * (YOC - XO1C) = 360° - 3 * угол YNZ.</p>
<p>15. Раскроем скобки:</p>
<p>4 * YOC - 4 * XO1C = 360° - 3 * угол YNZ.</p>
<p>16. Заметим, что угол YOC – это угол полного оборота (360°) минус угол YXO, так как треугольники YOC и YXO имеют 2 равных угла и сторону XO (общую).</p>
<p>То есть: YOC = 360° - YXO.</p>
<p>Аналогично, угол XO1C = 360° - XYO.</p>
<p>17. Подставим эти выражения в исходное равенство:</p>
<p>4 * (360° - YXO) - 4 * (360° - XYO) = 360° - 3 * угол YNZ.</p>
<p>18. Пусть угол YNZ = a. Тогда:</p>
<p>(1440° - 4 * YXO) - (1440° - 4 * XYO) = 360° - 3 * a.</p>
<p>19. Упростим это равенство:</p>
<p>4 * XYO - 4 * YXO = 360° - 3 * a.</p>
<p>20. Разделим обе части равенства на 4:</p>
<p>XYO - YXO = 90° - (3 * a) / 4.</p>
<p>21. Учтем, что если угол XYO – это угол с ребром XO, то угол YXO – это угол с ребром OY, но OY – радиус окружности w1. Следовательно, угол YXO равен 90°.</p>
<p>22. Подставим это равенство в предыдущее выражение:</p>
<p>90° = 90° - (3 * a) / 4.</p>
<p>23. Упростим это равенство:</p>
<p>(3 * a) / 4 = 0.</p>
<p>24. Разделим обе части равенства на 3:</p>
<p>a / 4 = 0.</p>
<p>25. Умножим обе части равенства на 4:</p>
<p>a = 0.</p>
<p>26. Примем, что угол YNZ – это угол 0.</p>
<p>27. Так как угол XO1C – это полный угол (360°), значит, треугольники XO1C и YOС равны по углам и сторонам, а значит, они подобны.</p>
<p>Также, так как треугольники XO2C и ZOC равны по углам и сторонам, они тоже подобны.</p>
<p>28. Подобные треугольники имеют равные соотношения между соответствующими сторонами.</p>
<p>29. Так как OY – это радиус окружности w1, а OZ – это радиус окружности w2, то OY / OX = OZ / OX</p>
<p>или OY / OZ = OX / OZ.</p>
<p>30. Упростим это выражение:</p>
<p>OY / OZ = 1.</p>
<p>31. Обозначим AB(NX) - диаметр окружности w1, BC – диаметр окружности w2 и XY – отрезок, соединяющий точки Y и X:</p>
<p>NY = XY,
OD = BC / 2 (так как O – середина BC),
OC = BC / 2 (так как C – центр окружности w2),
OX = AB(NX) / 2 (так как X – середина AB(NX)).</p>
<p>32. Заметим, что треугольники ODY и OXY являются прямоугольными, так как его стороны перпендикулярны в точке O (это так, так как O – центр окружности).</p>
<p>33. Также, так как треугольники ODY и OXY являются подобными через сторону OY и общий угол в точке O, значит (OD) / OY = (OX) / XY.</p>
<p>34. Подставим известные значения для OY и OX в это равенство:</p>
<p>(BC / 2) / XY = (AB(NX) / 2) / XY.</p>
<p>35. Сократим XY на обеих частях равенства:</p>
<p>(BC / 2) = (AB(NX) / 2).</p>
<p>36. Умножим обе части равенства на 2:</p>
<p>BC = AB(NX).</p>
<p>37. Заметим, что OY – это диаметр окружности w1, и OC – это диаметр окружности w2, значит, окружности w1 и w2 касаются в точке X и общей касательной NX.</p>
<p>38. Так как CG – это диаметр окружности w2, GX – это радиус окружности w2, а также B – середина диаметра CG – значит, треугольник BXG равносторонний, и угол OXB равен 60°.</p>
<p>39. Угол OXN – это угол OXB + BNX, значит:</p>
<p>OXN = 60° + BNX.</p>
<p>40. Также заметим, что BG – это диаметр окружности w2, и AC – это диаметр окружности w1, значит, треугольник BXC является равносторонним, а значит, угол BXC равен 60°.</p>
<p>41. Угол NXO – это угол BXC – BXN, значит:</p>
<p>NXO = 60° - BNX.</p>
<p>42. Сложим углы OXN и NXO:</p>
<p>OXN + NXO = 60° + BNX + 60° - BNX = 120°.</p>
<p>43. Заметим, что угол OXN – это угол OX и угол NXO – это угол NX, значит:</p>
<p>120° = OX + NX.</p>
<p>44. Подставим известные значения для OX и NX:</p>
<p>120° = AB(NX) + NX.</p
