Для начала рассмотрим основные геометрические свойства, которые помогут решить эту задачу. 1. Касательная, проведенная из точки к окружности, является перпендикуляром к радиусу, проведенному из центра окружности до точки касания. Это свойство позволяет нам определить угол и треугольники, образованные пересечением трех касательных. 2. Угол между касательной и радиусом в точке касания составляет 90 градусов. Это следует из свойства перпендикулярности и также является ключевым моментом в решении задачи. 3. Для решения задачи мы можем использовать геометрический трюк, известный как "внешнее касание". Внешнее касание возникает, когда две окружности касаются внешним образом в одной точке. Итак, приступим к решению задачи. Обозначим длины отрезков следующим образом: - Окружность w1 имеет радиус r1. - Окружность w2 имеет радиус r2. - Отрезок O1X имеет длину d1. - Отрезок O2X имеет длину d2. - Отрезок NX имеет длину d. Нам нужно найти отношение длин отрезков YZ и NX. Обозначим отрезок YZ как a, а отрезок NX как b. Возьмем треугольник YO1X. Угол YO1X равен 90 градусов (из свойства перпендикулярности касательной и радиуса). Также угол O1YX равен 90 градусов (так как NY - касательная к окружности w1). Треугольник YO1X - прямоугольный треугольник. Рассмотрим треугольник ZO2X. Угол ZO2X равен 90 градусов (опять же, из свойства перпендикулярности касательной и радиуса). Также угол O2ZX равен 90 градусов (так как NZ - касательная к окружности w2). Треугольник ZO2X - прямоугольный треугольник. Теперь, посмотрим на треугольник O1XO2. Угол O1XO2 равен сумме углов YO1X и ZO2X. Из условия задачи у нас есть равенство YO1X + ZO2X = YNZ. Так что угол O1XO2 = YNZ. Также у нас есть равенство O1X + O2X = O1O2 (так как O1O2 - сумма радиусов w1 и w2). Обозначим O1O2 как d3. Посмотрим на треугольник NYZ. Угол NYZ равен YNZ (свойство внешнего касания). Угол NYZ также равен сумме углов YNX и ZNX. Угол YNX равен 90 градусов (из свойства перпендикулярности касательной и радиуса). Угол ZNX равен 90 градусов (Опять же, из свойства перпендикулярности касательной и радиуса). Таким образом, угол NYZ = 90 + 90 = 180 градусов. То есть треугольник NYZ - прямоугольный треугольник. Из свойств прямоугольных треугольников мы знаем, что гипотенуза в два раза больше катета. В нашем случае гипотенуза - YZ, а катет - NX. Таким образом, a = 2b. Теперь давайте выразим эти длины через известные значения. Очевидно, что d1 = r1 и d2 = r2 (по определению радиуса). Также из треугольника O1XO2 мы знаем, что d1 + d2 = d3. Из свойства прямоугольных треугольников мы знаем, что d3 - гипотенуза. Тогда d3 = √(r1^2 + r2^2). Теперь рассмотрим треугольник NW2X. Мы знаем, что NW2 = r2. Заметим, что треугольник NW2Y подобен треугольнику ZO2Y. Поэтому NY/NW2 = ZZ2/Z2Y. По определению точки касания ZZ2 = YZ/2 и Z2Y = r2. Таким образом, NY/r2 = YZ/2r2. Отсюда NY = YZ/2. Теперь рассмотрим треугольник NW1X. Мы знаем, что NW1 = r1. Заметим, что треугольник NW1Z подобен треугольнику YO1Z. Поэтому NZ/NW1 = YY1/Y1Z. По определению точки касания YY1 = YZ/2 и Y1Z = r1. Таким образом, NZ/r1 = YZ/2r1. Отсюда NZ = YZ/2. Теперь давайте объединим все полученные значения для решения уравнения. NY + NZ = YZ/2 + YZ/2 = YZ Из уравнения NY = YZ/2 мы можем выразить YZ через NY: YZ = 2NY. Подставляем значение YZ в уравнение NY + NZ = YZ: NY + NZ = 2NY NY = NZ NY/NZ = 1 Теперь заметим, что NY/NX = NY/(d + NZ). То есть отношение NY к NX. Мы знаем, что NY = NZ. Подставляем значение NY: NY/NX = NY/(d + NY) = NY/NY = 1 Таким образом, отношение длин отрезков YZ и NX равно 1:1.