Пусть радиусы окружностей w1 и w2 равны соответственно r1 и r2. Обозначим точку касания окружностей X, а точки касания вторых касательных с окружностями Y и Z соответственно. Так как NX — общая касательная к окружностям w1 и w2, то треугольник NXY подобен треугольнику O1YX и треугольнику NZX подобен треугольнику O2ZX. Рассмотрим углы: 1) Угол O1YX равен прямому углу, так как O1YX — это отрезок, соединяющий центр окружности O1 с точкой касания Y. Таким же образом угол O2ZX также равен прямому углу. 2) Угол YNZ треугольника NXY также является прямым, так как треугольник NXY подобен треугольнику O1YX. Задача заключается в том, чтобы найти отношение длин отрезков YZ и NX. Обозначим через L длину отрезка YZ и через K длину отрезка NX. Так как треугольник NXY подобен треугольнику O1YX, то их стороны пропорциональны: NY / O1Y = NX / O1X = XY / O1Y Аналогично, треугольник NZX подобен треугольнику O2ZX: NZ / O2Z = NX / O2X = XZ / O2Z Так как XY = XZ (оба равны радиусу внешней окружности, которые равны между собой), то NY / O1Y = NZ / O2Z Так как сумма углов YO1X и ZO2X в два раза больше угла YNZ, то YO1X + ZO2X = 2 * YNZ Один из этих углов равен прямому, а другой – переcекаемый при параллельных прямых: YO1X + ZO2X = 180° 2 * YNZ = 180° Опускаем перпендикуляр из точки Y на прямую O1Y и обозначаем точку пересечения M. Также проводим отрезок O1M и обозначаем его длиной h. Теперь посмотрим на прямоугольные треугольники O1YM и O1MX. sin <O1YM = h / r1 sin <O1MX = h / O1X Так как <O1YM = <O1MX (эти углы противолежащие друг другу), то h / r1 = h / O1X Тогда O1X = r1. Из предыдущих равенств имеем NY / O1Y = NZ / O2Z NY * O2Z = NZ * O1Y = L * r2 Аналогично NX * O2Z = K * r2 Так как NY * O2Z = NZ * O1Y, то L * r2 = K * r2 L = K Отношение длин отрезков YZ и NX равно 1:1.