Пусть радиусы окружностей w1 и w2 равны r1 и r2 соответственно, а длина отрезка YZ равна L. На рисунке ниже представлена схема задачи:

     O1    Y       Z   O2

      |    |     /|    |

      |    |    / |    |

      | R1 |   /  | R2 |

      |    |   X   |    |

      |    |  /   |    |

      | w1 | /    | w2 |

      |    |/     |    |

     ------N-------X------

Из условия задачи известно, что YO1X + ZO2X = YNZ. Рассмотрим треугольники YNX и XOM: - В треугольнике YNX угол YNX равен прямому углу (так как прямые YN и NX – касательные к окружностям w1 и w2, соответственно). Значит, угол YOX равен 90 градусам. - В треугольнике YNX угол XYX равен углу YO1X, угол NYX равен углу YNX (так как они смежные вертикальные углы), а угол YNX равен углу ZO2X + углу ZO2X (из условия задачи). Значит, сумма YO1X и ZO2X равна углу ZO2X + ZO2X. - В треугольнике XOM угол XO1M равен прямому углу, значит угол XO1X равен половине угла O1XM и равен углу YO1X (потому что треугольник YOX прямоугольный). Значит, угол YO1X равен половине угла O1XM. - В треугольнике XOM угол XOM равен углу XMO (так как они смежные вертикальные углы), а угол XMO равен углу NMO (так как линии NM и OM объектнуют с обеих сторон прямой угол). Сумма углов треугольника NMO равна 180 градусам, поэтому сумма углов YO1X и ZO2X равна половине этой величины (так как два угла треугольника равны углу YO1X и они смежные вертикальные углы). То есть, YO1X + ZO2X = 180 / 2 = 90 градусам. Теперь рассмотрим треугольники YNZ и NXO2: - В треугольнике YNZ угол YNZ равен прямому углу (так как прямые YN и NZ – касательные к окружностям w1 и w2, соответственно). Значит, угол YOX равен 90 градусам. - В треугольнике YNZ угол YNZ равен углу ZO2X (так как они смежные вертикальные углы), а угол ZNY равен углу ZO2X + YO1X (так как из задачи известно, что сумма углов YO1X и ZO2X равна углу YNZ). Значит, сумма YO1X и ZO2X равна углу ZNY. - В треугольнике NXO2 угол NXM равен углу NZO2 (так как они смежные вертикальные углы), а угол NMX равен углу NXO2 (так как прямые NX и O2M параллельны, следовательно углы, образованные ими, равны). Таким образом, сумма углов NZO2 и NXO2 равна углу NMX + NXO2. Из прямоугольного треугольника YXM следует, что угол XMY равен половине угла O1XM (так как линии XM и MY дают прямой угол). Значит, угол O1XM равен 2 * XMY. Из рассмотрения треугольника NMX следует, что угол NMX равен 180 градусам минус угол NXM минус угол MXN. Так как NXM равен NXO2 и MXN равен YXN, а YXN равен XMY (так как прямоугольный треугольник XYM), то угол NMX равен 180 - NXO2 - XMY. Таким образом, сумма углов NZO2 и NXO2 равна (180 - NXO2 - XMY) + NXO2 = 180 - XMY. Из этого получаем, что угол YNZ равен углу YO1X (так как YNZ равен ZNY, а ZNY равен углу YO1X + углу ZO2X) и что угол NMX + NXO2 равен 180 - XMY. Следовательно, YO1X + ZO2X = угол YNZ = углу NMX + NXO2. Теперь рассмотрим треугольники YOX и ZOX: - В треугольнике YOX угол YOX равен углу ZOX (так как они смежные вертикальные углы) и равен 90 градусам. - В треугольнике YOX угол XYO равен углу YO1X (так как треугольник YOX прямоугольный) и равен половине угла O1XM. - В треугольнике ZOX угол XZО равен углу ZO2X (так как треугольник ZOX прямоугольный) и равен половине угла O2XM. Таким образом, YO1X = половина угла O1XM, а ZO2X = половина угла O2XM. Мы выяснили, что угол YO1X + ZO2X равен углу NMX + NXO2 и равен 90 градусам. Значит, 2 * половина угла O1XM + 2 * половина угла O2XM = 90 градусам. Отсюда следует, что (угол O1XM + угол O2XM) = 45 градусам. Теперь рассмотрим треугольники YOX и ZOX: - В треугольнике YOX угол YOX равен углу ZOX (так как они смежные вертикальные углы), а угол OXY равен 180 градусам минус угол O1XM (так как угол O1XM равен углу XYO) и равен углу O2XM. Поэтому сумма углов YOX и ZOX равна 180 градусам. - В треугольнике YOX угол YOX равен углу YO1X + углу XO1Y (так как угол YO1X равен углу XYO и угол XO1Y равен 180 градусам минус угол OXY). Это значение равно углу YO1X + 180 - угол O1XM. - В треугольнике ZOX угол ZOX равен углу ZO2X + углу XO2Z (так как угол ZO2X равен углу XOZ и угол XO2Z равен 180 градусам минус угол OXY). Это значение равно углу ZO2X + 180 - угол O2XM. Таким образом, угол YO1X + 180 - угол O1XM = угол ZO2X + 180 - угол O2XM. Но мы знаем, что угол YO1X + ZO2X = углу NMX + NXO2 и равен 90 градусам. Следовательно, (углу NMX + NXO2) + 180 - угол O1XM = угол ZO2X + 180 - угол O2XM. Организуем уравнение, подставив из того, что мы уже получили: (условие из задачи): углу NMX + NXO2 = 90, угол YO1X + 180 - O1XM = угол ZO2X + 180 - O2XM. Тогда второе уравнение примет вид: (углу NMX + NXO2) + 180 - O1XM = (угол NMX + NXO2) + 180 - O2XM, или (180 - O1XM) = (180 - O2XM). Из этого следует, что O1XM = O2XM. Мы получили, что угол O1XM равен углу O2XM. При этом мы выяснили, что угол O1XM + угол O2XM = 45 градусам. Следовательно, их оба равны 22.5 градусам. То есть, угол O1XM равен 22.5 градусам. На рисунке выше располагается прямой НХ, которая является общей касательной окружностей w1 и w2. Обратимся к треугольнику НХО2: - Угол ONX равен углу O2NM (так как углы смежные вертикальные). - Угол NXO2 равен 22.5 градусам (так как мы выяснили, что углы O1XM и O2XM равны). Из этих двух равенств следует, что угол ONX равен 22.5 градусам. Теперь рассмотрим треугольник YNX: - Угол YNX равен прямому углу (так как прямые YN и NX являются касательными к окружности w1). - Угол XNY равен 90 градусам минус угол ONX (так как они смежные вертикальные углы). Следовательно, угол XNY равен 90 градусам минус 22.5 градусов, то есть 67.5 градусов. Мы получили, что угол XNY равен 67.5 градусам. Заметим, что этот угол является половиной угла YZO1 (так как треугольник YZO1 равнобедренный, и, следовательно, основание ZO1 равно стороне YZ). Таким образом, угол YZO1 равен 2 * 67.5 градусов, то есть 135 градусам. В треугольнике YZO1 нам известно, что сторона YZ равна L, а угол YZO1 равен 135 градусам. Так как правильного треугольника вседа могут быть найдены все его стороны и углы, мы можем найти сторону ZO1. Строна ZO1 можно найти с использованием формулы косин