Обозначим радиусы окружностей как R1 и R2 соответственно, а длину отрезка YZ как l. Так как точка N является точкой касания второй касательной к обеим окружностям, то отрезок NX будет являться биссектрисой угла YNZ. Обозначим угол YNZ как α. Так как мы знаем, что сумма углов YO1X и ZO2X в 5 раз больше угла YNZ, то получаем следующее равенство: YO1X + ZO2X = 5α Обратим внимание, что угол YO1X является внешним углом треугольника NYO1. Так как прямая NY является касательной к окружности w1, то получаем, что угол YO1X равен половине разности окружностных углов между хордой YZ и дугой YZ на окружности w1. Аналогично, угол ZO2X равен половине разности окружностных углов между хордой YZ и дугой YZ на окружности w2. Обозначим окружностный угол между хордой YZ и дугой YZ на окружности w1 как β1 и на окружности w2 как β2. Таким образом, получаем следующие равенства: YO1X = (β1 - l)/2 ZO2X = (β2 - l)/2 Теперь можем записать уравнение из условия задачи: (β1 - l)/2 + (β2 - l)/2 = 5α Упростим это уравнение: β1 + β2 - l = 10α Так как длина окружности равна 2πR, где R - радиус окружности, то длина дуги YZ на окружностях w1 и w2 равны l1 = 2πR1β1 и l2 = 2πR2β2 соответственно. Теперь можем записать отношение длин отрезков YZ и NX: YZ/NX = (l1 + l2)/(l + l) = (2πR1β1 + 2πR2β2)/(2l) Так как мы знаем, что β1 + β2 - l = 10α, то можем выразить β1 и β2 через l и α: β1 = 10α - β2 + l Теперь можем подставить это выражение в формулу для отношения длин: YZ/NX = (2πR1β1 + 2πR2β2)/(2l) = (2πR1(10α - β2 + l) + 2πR2β2)/(2l) Теперь нам нужно найти отношение YZ/NX, но для этого нам нужно знать значения α, β2, R1 и R2. В условии задачи эти значения не даны, поэтому мы не можем найти точное значение отношения YZ/NX. Однако мы можем выразить отношение YZ/NX через эти переменные, как показано выше. Также можно провести дополнительные исследования или использовать предположения о значениях α, β2, R1 и R2, чтобы приближенно найти отношение YZ/NX.