Дана задача о касательных прямых к окружностями и требуется найти отношение длин отрезков YZ:NX. Для решения задачи воспользуемся свойствами касательных прямых и углами, образованными при пересечении окружностей. Обозначим центры окружностей w1 и w2 как O1 и O2 соответственно. Пусть точка пересечения с внешней областью окружностей, которая лежит на прямой NX, обозначена как M. Воспользуемся следующими свойствами касательных прямых: 1. Угол между касательной и радиусом, проведенным в точку касания, равен 90 градусам. Из этого свойства следует, что треугольник YMX прямоугольный, так как прямая NX является касательной к окружности w1 и, следовательно, угол YXM равен 90 градусам. 2. Касательны к окружности, проведенные из одной точки, равны по длине. Из этого свойства следует, что NY = NZ, так как обе прямые являются касательными к окружностям w1 и w2, проведенными из точки N. 3. Углы, образованные двумя касательными прямыми, проведенными из одной точки, равны. Из этого свойства следует, что угол YNX равен углу ZNX. Обозначим эти углы как a. Нам также известно, что сумма углов YO1X и ZO2X в 2 раза больше угла YNZ. Обозначим угол YO1X как b1, угол ZO2X как b2 и угол YNZ как c. Тогда у нас есть следующее равенство: b1 + b2 = 2c Теперь рассмотрим треугольники O1YX и O2ZX. Они являются прямоугольными, так как углы YXM и ZXM равны 90 градусам в силу свойства 1. По теореме Пифагора в этих треугольниках: O1Y^2 + O1X^2 = YX^2 O2Z^2 + O2X^2 = ZX^2 Обозначим O1Y как r1 и O2Z как r2 (это радиусы окружностей w1 и w2 соответственно). Раскрыв эти равенства, получим: r1^2 + O1X^2 = YX^2 r2^2 + O2X^2 = ZX^2 Возьмем разность этих двух равенств, чтобы избавиться от квадратов радиусов: (r1^2 - r2^2) + (O1X^2 - O2X^2) = YX^2 - ZX^2 Мы знаем, что O1X = O2X, так как NX является общей касательной к окружностям w1 и w2. Из этого следует, что O1X^2 - O2X^2 = 0, и перед скобкой останется только разность квадратов радиусов: r1^2 - r2^2 = YX^2 - ZX^2 Теперь вспомним, что треугольники YMX и ZMX являются прямоугольными. По теореме Пифагора в этих треугольниках: YX^2 = MY^2 + MX^2 ZX^2 = MZ^2 + MX^2 Из этих равенств можем утверждать, что YX^2 - ZX^2 = MY^2 - MZ^2 То есть разность квадратов радиусов равна разности квадратов длин отрезков MY и MZ: r1^2 - r2^2 = MY^2 - MZ^2 Мы получили два равенства, которые содержат разность квадратов радиусов и разность квадратов длин отрезков MY и MZ. Теперь вспомним, что YNX = ZNX = a. Мы можем записать угол YXZ через углы YO1X и ZO2X: YXZ = (YO1X + ZO2X) - (YNX + ZNX) = (YO1X + ZO2X) - 2a Из задачи нам известно, что сумма углов YO1X и ZO2X в 2 раза больше угла YNZ. Это значит, что: YO1X + ZO2X = 2c Теперь подставим это значение обратно в уравнение для угла YXZ: YXZ = 2c - 2a = 2(c - a) Используя теорему косинусов в треугольнике YXZ, получим: YX^2 = YZ^2 + ZX^2 - 2 * YZ * ZX * cos(YXZ) Мы уже знаем, что YX^2 - ZX^2 = MY^2 - MZ^2 и YXZ = 2(c - a). Подставим это в уравнение: YZ^2 + ZX^2 - 2 * YZ * ZX * cos(2(c - a)) = MY^2 - MZ^2 Так как NY = NZ, MY^2 - MZ^2 = YZ^2 - YN^2, поэтому уравнение примет вид: YZ^2 + ZX^2 - 2 * YZ * ZX * cos(2(c - a)) = YZ^2 - YN^2 Сократим слагаемые с YZ^2: ZX^2 - 2 * YZ * ZX * cos(2(c - a)) = - YN^2 Заметим, что YN = YX - NX. Подставим это в уравнение: ZX^2 - 2 * YZ * ZX * cos(2(c - a)) = - (YX - NX)^2 Раскроем квадрат справа: ZX^2 - 2 * YZ * ZX * cos(2(c - a)) = - YX^2 + 2 * YX * NX - NX^2 Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения: ZX^2 - 2 * YZ * ZX * cos(2(c - a)) + YX^2 - 2 * YX * NX + NX^2 = 0 Распишем сумму углов YO1X и ZO2X в 2 раза больше угла YNZ: b1 + b2 = 2c Так как углы YO1X и ZO2X являются смежными углами, они дополняют друг друга до 180 градусов: b1 + b2 = 180 градусов Так как эти углы лежат на прямых отрезках O1X и O2X, которые являются радиусами окружностей w1 и w2, то можно записать: b1 + b2 = 180 градусов = 2 * pi радиан Теперь рассмотрим угол YO1X и проверим, что мы можем его представить как разность a и b1: YO1X = 180 градусов - (YO1N + NO1X) YO1X = 180 градусов - (b1 + 90 градусов) YO1X = 180 градусов - b1 - 90 градусов YO1X = 90 градусов - b1 YO1X = a - b1 Таким образом, мы доказали, что YO1X = a - b1. Аналогично можно показать, что ZO2X = a - b2. Вернемся к уравнению для YZ^2: ZX^2 - 2 * YZ * ZX * cos(2(c - a)) + YX^2 - 2 * YX * NX + NX^2 = 0 Перепишем выражение для угла YXZ через a: cos(2(c - a)) = cos(2c - 2a) = cos(2a - 2c) = cos(2a + 2b1 - 2a) = cos(2b1) Заменим это выражение в исходном уравнении: ZX^2 - 2 * YZ * ZX * cos(2b1) + YX^2 - 2 * YX * NX + NX^2 = 0 Теперь заметим, что YX = YM + MX и ZX = MZ + MX. Мы уже знаем, что NY = NZ, поэтому можно записать: YX = YM + NY = YM + NZ = YM + MZ Подставим это в уравнение: (ZM + MX)^2 - 2 * YZ * (ZM + MX) * cos(2b1) + (YM + MZ)^2 - 2 * (YM + MZ) * NX + NX^2 = 0 Раскроем квадраты: ZM^2 + 2 * ZM * MX + MX^2 - 2 * YZ * (ZM + MX) * cos(2b1) + YM^2 + 2 * YM * MZ + MZ^2 - 2 * (YM + MZ) * NX + NX^2 = 0 Сгруппируем слагаемые: ZM^2 + YM^2 + 2 * (ZM * MX + YM * MZ) + MX^2 + MZ^2 - 2 * YZ * (ZM + MX) * cos(2b1) - 2 * (YM + MZ) * NX + NX^2 = 0 Вспомним, что YXM = YZM и угол YXZ = 2(a - b1). Тогда угол ZXM равен 180 градусов - YXM, то есть 180 градусов - YZM. Заметим также, что угол ZXM является внешним углом треугольника MYZ. Согласно теореме Лени (теорема отношения длин сторон и углов внешних и внутренних касательных), получим: YZ / YM = ZX / ZM Подставим ее в уравнение: ZM^2 + YM^2 + 2 * (ZM * MX + YM * MZ) + MX^2 + MZ^2 - 2 * YZ * (ZM + MX) * cos(2b1) - 2 * (YM + MZ) * NX + NX^2 = 0 Поделим обе части уравнения на YM * ZM: (YM^2 + ZM^2) / (YM * ZM) + 2 * (MX / ZM + MZ / YM) + (MX^2 + MZ^2) / (YM * ZM) - 2 * YZ * (1 + MX / ZM) * cos(2b1) - 2 * (1 + MZ / YM) * NX / (YM * ZM) + NX^2 / (YM * ZM) = 0 Заметим, что YM^2 + ZM^2 = YM * ZM + YZ^2, так как треугольник YMZ является прямоугольным, и угол YMZ равен 90 градусам. Преобразуем уравнение: (YM * ZM + YZ^2) / (YM * ZM) + 2 * (MX / ZM + MZ / YM) + (MX^2 + MZ^2) / (YM * ZM) - 2 * YZ *