Пусть радиусы окружностей w1 и w2 равны r1 и r2 соответственно, а длина отрезка YZ равна l. Так как прямая NX является общей касательной для w1 и w2, то она перпендикулярна радиусам w1 и w2 в точках N и X соответственно. Из этого следует, что треугольники NYX и NZX являются прямоугольными треугольниками, а также обратными к теореме Пифагора, так как углы NYX и NZX – прямые. Теперь рассмотрим треугольники NYX и NYZ. Если NY – общая касательная к w1 и w2, то угол YNZ будет прямым. Таким образом, угол YO1X равен углу YO2X, а углу YNZра равен углу ZO2X. Условие задачи говорит, что сумма углов YO1X и ZO2X в 5 раз больше угла YNZ: YO1X + ZO2X = 5*YNZ. Так как YO1X равен углу YO2X, то: 2*YO1X = YO1X + YO2X. Также угол YO1X равен углу YNZ и ZO2X равен углу ZNY: YO1X = YNZ, YO2X = ZNY. Тогда: 2*YO1X = YO1X + YO2X = YNZ + ZNY, ZO2X = YNZ + ZNY. Учитывая, что YO1X + ZO2X = 5*YNZ, получим: 3*YO1X = 3*YNZ = 4*YNZ, YO1X = YNZ = 4*YNZ / 3. Так как радиусы окружностей w1 и w2 равны r1 и r2, то половина длины отрезка NX равна разности этих радиусов: NX/2 = r1 - r2. Теперь рассмотрим треугольник NYZ. Он прямоугольный, поэтому применяем теорему Пифагора: l^2 = NY^2 + YZ^2. Так как радиус окружности равен отрезку, проведенному из центра окружности до точки касания (формула касательной), то NY = r1 и NZ = r2. Подставив эти значения в формулу Пифагора, получим: l^2 = r1^2 + (r2 + l)^2. Раскрыв скобки, получим: l^2 = r1^2 + r2^2 + 2*r2*l + l^2. Вычтем из обеих сторон уравнения l^2 и перенесем все члены с l в одну часть: 0 = r1^2 + r2^2 + 2*r2*l. Теперь можно выразить l через r1 и r2: 2*r2*l = - r1^2 - r2^2. l = ( - r1^2 - r2^2 ) / ( 2*r2 ). Теперь можно найти отношение длин отрезков YZ:NX: YZ:NX = l : (2 * (r1 - r2)). Подставляем значение l: YZ:NX = ( - r1^2 - r2^2 ) / ( 2*r2 ) : (2 * (r1 - r2)). Сокращая выражение на 2*r2, получим: YZ:NX = ( - r1^2 - r2^2 ) / ( 4*r1 - 4*r2 ). Полученное выражение дает отношение длин отрезков YZ:NX в зависимости от радиусов окружностей r1 и r2.