Для решения задачи нам понадобится некоторая дополнительная информация о фигурах и их свойствах.
1. Окружности, касающиеся внешним образом, имеют общую касательную, которая проходит через точку касания.
2. Касательные, проведенные из одной точки к окружностям, равны по длине.
3. Вертикальные углы равны.
Давайте рассмотрим прямоугольный треугольник YNZ.
Так как NY и NZ -- касательные, то углы YNZ и ZNY прямые.
Также, по свойству касательной, угол YO1X также прямой.
Таким образом, углы YNZ, ZNY и YO1X образуют прямоугольный треугольник.
Пусть угол YO1X равен a градусов. Тогда сумма углов YO1X и ZO2X равна a + 90 градусов.
Угол YNZ равен 180 - a градусов, так как сумма углов треугольника равна 180 градусов.
Из условия задачи известно, что сумма углов YO1X и ZO2X в 3 раза больше угла YNZ.
Это можно записать следующим образом:
(a + 90) + (a + 180 - a) = 3(180 - a)
Упростим это уравнение:
2a + 270 = 540 - 3a
5a = 270
a = 54 градуса
Теперь мы знаем значение угла YO1X.
Из свойства касательной к окружности и вертикальных углов видно, что угол ZO1X также равен 54 градусам.
Теперь рассмотрим отношение длин отрезков YZ и NX.
По свойству касательной, касательные из одной точки к окружностям равны по длине.
Таким образом, YN = NY и ZN = NZ.
Также, по условию задачи, окружности касаются в точке X. Значит, XN -- общая касательная к окружностям w1 и w2. Из свойства общей касательной, длина отрезка XN равна разности радиусов окружностей w1 и w2.
То есть, XN = R1 - R2.
Также, по свойству касательной, YXN -- прямой угол. Значит, треугольник YXN - прямоугольный.
Мы знаем, что угол YNX равен 180 - a градусов, то есть, в нашем случае 126 градусов.
Тогда угол XYN будет равен 90 - (180 - a) = a - 90 градусов, то есть, в нашем случае - 36 градусов.
Теперь мы знаем два угла треугольника YXN, и можем найти третий угол:
180 - 126 - 36 = 18 градусов.
Треугольник YXN -- прямоугольный, поэтому угол XYN равен 90 градусов.
У нас есть прямоугольный треугольник YXN с известными углами 90, 36 и 18 градусов.
Теперь мы можем использовать тригонометрические соотношения, чтобы найти отношение длин отрезков YZ и NX.
Используя теорему синусов для треугольника YXN, получаем:
sin(36)/YN = sin(18)/XN
sin(36)/YN = sin(18)/(R1 - R2)
Также, по свойству касательной, YN = NY и ZN = NZ. Значит, NY = R1 и NZ = R2.
Подставляем:
sin(36)/R1 = sin(18)/(R1 - R2)
Теперь нам нужно выразить отношение длин отрезков YZ и NX через R1 и R2.
Обозначим отношение длин отрезков YZ и NX за m.
Тогда YZ = m * NX.
Используя пропорцию из теоремы синусов для треугольника YZM, получаем:
sin(54)/YZ = sin(36)/MX
sin(54)/(m * NX) = sin(36)/(R1 - R2)
Мы знаем, что sin(54) = cos(36) и sin(36) = cos(54). Подставляем эти значения:
cos(36)/(m * NX) = cos(54)/(R1 - R2)
Теперь можно выразить m через R1 и R2:
m = (cos(36) * NX) / (cos(54) * (R1 - R2))
Так как мы знаем, что XN = R1 - R2 и YXN -- прямоугольный треугольник, то мы можем найти NX через XN, угол XYN и тангенс угла XYN:
NX = XN * tan(XYN)
NX = (R1 - R2) * tan(36)
Тогда отношение длин отрезков YZ и NX будет:
m = (cos(36) * (R1 - R2) * tan(36)) / (cos(54) * (R1 - R2))
Таким образом, мы нашли отношение длин отрезков YZ и NX через радиусы окружностей w1 и w2.
