Дано: Окружности w1 и w2 с центрами O1 и O2 соответственно, которые касаются в точке X. Прямая NX - общая касательная окружностей w1 и w2. Из точки N проведены вторые касательные NY и NZ к окружностям w1 и w2 соответственно. Сумма углов YO1X и ZO2X в 3 раза больше угла YNZ. Необходимо найти отношение длин отрезков YZ:NX.
Обозначим угол YO1X как а, угол ZO2X как b и угол YNZ как с.
Известно, что сумма углов YO1X и ZO2X в 3 раза больше угла YNZ. Математически это можно записать так: а + b = 3с.
Для решения задачи воспользуемся свойством касательных к окружности. Известно, что при проведении касательной к окружности, точка касания, точка касания и центр окружности лежат на одной прямой, образующей прямой угол.
Таким образом, углы YO1X и ZO2X являются прямыми углами, так как касательная NX проведена из точки N.
Угол YO1X равен 90 градусам.
Обозначим радиусы окружностей w1 и w2 как r1 и r2 соответственно.
Треугольник YNZ является прямоугольным, так как угол YNZ является прямым углом (в силу свойства касательной к окружности).
Таким образом, можно применить теорему Пифагора для треугольника YNZ:
NY² + ZN² = YZ².
Так как треугольник YNZ прямоугольный, можно записать NY и ZN через радиусы окружностей:
NY = r1 - r2 (так как NY представляет собой разность радиусов окружностей w1 и w2);
ZN = r2 + r1 (так как ZN представляет собой сумму радиусов окружностей w1 и w2).
Подставим значения NY и ZN в уравнение теоремы Пифагора:
(r1 - r2)² + (r1 + r2)² = YZ².
Упростим данную формулу:
r1² - 2r1r2 + r2² + r1² + 2r1r2 + r2² = YZ²;
2r1² + 2r2² = YZ²;
2(r1² + r2²) = YZ².
Известно, что сумма углов YO1X и ZO2X в 3 раза больше угла YNZ, то есть а + b = 3с.
Так как угол YO1X равен 90 градусам, а + b = 90°.
Составим уравнение:
90° = 3с;
с = 30°.
Известно, что сумма углов треугольника равна 180°:
а + b + с = 180°;
90° + b + 30° = 180°;
b + 120° = 180°;
b = 60°.
Теперь у нас есть значения углов a, b и c:
а = 90°;
b = 60°;
с = 30°.
Далее, воспользуемся формулой тангенса для нахождения отношения длин окружностей w1 и w2:
тан a = YX / O1X,
тан b = YX / O2X.
Подставим значения углов a и b:
тан 90° = YX / O1X;
бесконечность = YX / O1X;
YX = бесконечность * O1X.
тан 60° = YX / O2X;
√3 = YX / O2X;
YX = √3 * O2X.
Таким образом, получаем, что отношение длин отрезков YX и O1X равно √3.
Также известно, что сумма углов YO1X и ZO2X в 3 раза больше угла YNZ, то есть а + b = 3с.
а + б = 90° + 60° = 150° = 3 * 30° = 3с.
150° = 90° + b;
b = 150° - 90° = 60°.
Таким образом, угол b равен 60°.
Теперь, обратимся к треугольнику YNZ.
Так как треугольник YNZ является прямоугольным, тангенс угла с равен отношению противоположного катета к прилежащему катету:
тан с = YZ / NZ.
Подставим значения угла с и выразим YZ:
тан 30° = YZ / NZ;
1/√3 = YZ / NZ;
YZ = (1/√3) * NZ.
Теперь, найдем отношение длин YZ и NX.
Известно, что YZ = (1/√3) * NZ.
Также известно, что NY = r1 - r2 и ZN = r2 + r1.
Так как NZ и NX являются касательными окружностей w1 и w2 соответственно, то NZ = r2 и NX = r1.
Подставим значения NZ и NX в уравнение YZ = (1/√3) * NZ:
YZ = (1/√3) * r2.
Итак, отношение длин YZ и NX равно:
YZ : NX = (1/√3) * r2 : r1 = (1/√3) * r2 / r1 = 1/√3.
Ответ: Отношение длин отрезков YZ и NX равно 1/√3.
