Из условия задачи следует, что треугольник YNZ подобен треугольнику YO1X по двум углам, так как оба треугольника имеют угол в точке X и прямой угол в точке N. Поэтому отношение их сторон равно отношению длин противоположных сторон: YZ/NX = YN/YO1. Так как задача требует найти отношение длин YZ и NX, то необходимо выразить YN через YZ и NX. Для этого представим треугольник YNZ как сумму двух треугольников: YN = YX + XN. Аналогично, представим треугольник YO1X как сумму двух треугольников: YO1 = YX + XO1. Тогда отношение YN/YO1 равно отношению (YX + XN)/(YX + XO1). Углы YO1X и ZO2X образуют вертикальные углы с углом YO2X, который равен углу YO1X, поэтому углы YO1X и ZO2X равны друг другу. Также, известно, что сумма углов YO1X и ZO2X в 5 раз больше угла YNZ. Поэтому угол YO1X равен 2/6 = 1/3 угла YNZ. Значит, угол YO1X в 3 раза больше угла YNZ. Обозначим угол YNZ как α, угол YO1X как β. Тогда углы YO1X и ZO2X равны β, а сумма углов YO1X и ZO2X равна 3β. Из условия задачи следует, что 3β = 5α. Из этого равенства можно найти выражение для β через α: β = (5α) / 3. Теперь можем вернуться к выражению YN/YO1 и заменить β на (5α) / 3: YN/YO1 = (YX + XN) / (YX + XO1) = (YX + XN) / (YX + (5α) /3). Так как треугольники YNZ и YO1X подобны, то отношение их сторон YN/YO1 равно отношению длин соответствующих сторон: YN/YO1 = YZ/YO2. Обозначим длину отрезка YX как a, длину отрезка XN как b. Тогда длина отрезка YN равна a + b, а длина отрезка YO1 равна a + (5α) / 3. Отношение YN/YO1 равно отношению YZ/YO2: (a + b) / (a + (5α) / 3) = YZ/YO2. Рассмотрим треугольник YO2X. В этом треугольнике угол YO2X равен углу YO1X, так как они образованы прямыми, пересекающими прямую NX. Также, угол YO2X равен углу ZO2X, так как они образованы прямыми, пересекающими прямую NX. Таким образом, углы YO1X и ZO2X являются прилежащими углами угла YO2X. Известно, что сумма углов YO1X и ZO2X в 5 раз больше угла YNZ, а угол YO1X в 3 раза больше угла YNZ. Поэтому угол YNZ равен α, угол YO1X равен 3α, а угол ZO2X равен 2α. Обозначим длину отрезка YO2 как c. Тогда длина отрезка O2X равна c, а длина отрезка YX равна a. Так как треугольники YO2X и YNX подобны, то отношение их сторон YO2/YN равно отношению длин противоположных сторон: YO2/YN = c/(a + b). Также, треугольники ZO2X и NYZ подобны, поэтому отношение их сторон ZO2 / YZ равно отношению длин противоположных сторон: ZO2 / YZ = c / b. Теперь можем записать выражение для отношения YZ/NX через известные величины: YZ/NX = YN/YO1 = (a + b) / (a + (5α) / 3). Также, можем записать выражения для отношений YO2/YN и ZO2/YZ: YO2/YN = c/(a + b), ZO2 / YZ = c / b. Таким образом, отношение длин отрезков YZ и NX равно (a + b) / (a + (5α) / 3), отношение длин отрезков YO2 и YN равно c/(a + b), а отношение длин отрезков ZO2 и YZ равно c / b.