Дано, что окружности w1 и w2 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке X. Пусть O1X и O2X - радиусы этих окружностей.
Также дано, что прямая NX - общая касательная окружностей w1 и w2.
Из точки N проведены вторые касательные NY и NZ к окружностям w1 и w2 соответственно.
Наша цель - найти отношение длин отрезков YZ:NX.
Обозначим углы XO1Y, XO2Z и YNZ, соответственно, через α, β и γ.
Известно, что сумма углов YO1X и ZO2X в 5 раз больше угла YNZ.
То есть,
YO1X + ZO2X = 5γ (1)
Рассмотрим треугольник O1XY. В нем сумма углов равна 180 градусам:
α + 90 + β = 180 (2)
Также, так как прямая NX - общая касательная окружностей, угол XNY = α (так как угол между радиусом и касательной равен прямому углу).
Рассмотрим треугольник ONY. В нем:
XNY + YON + ONY = 180
Так как XNY = α, и YON = γ (они смежные у дуги NY), получаем:
α + γ + ONY = 180 (3)
Так как O1X - радиус окружности w1, а NX - касательная, угол O1XN будет перпендикулярен NX, то есть прямой.
Тогда, в треугольнике O1XN:
O1XN + ONX + XNO1 = 180
Но O1XN = 90, так как O1X - радиус окружности, а NX - касательная, то есть O1XN - прямой угол.
Поэтому мы можем записать:
90 + ONX + XNO1 = 180
То есть ONX + XNO1 = 180 - 90 = 90.
Но XNO1 = β, потому что они смежные у дуги O1X и ON.
Поэтому ONX + β = 90, то есть ONX = 90 - β.
Таким образом, получаем:
α + γ + 90 - β = 180 (4)
Решив уравнение (2) относительно β, получим:
β = 180 - α - 90 = 90 - α (5)
Подставим это в уравнение (4), получим:
α + γ + 90 - (90 - α) = 180
Simplifying:
α + γ + α = 180
2α + γ = 180 (6)
Теперь подставим уравнения (5) и (6) в уравнение (1):
YO1X + ZO2X = 5γ
У нас есть, что YO1X = α и ZO2X = β:
α + β = 5γ
Используя уравнение (5) β = 90 - α, можем переписать это уравнение:
α + (90 - α) = 5γ
Simplifying:
90 = 5γ
То есть γ = 18
Теперь мы знаем значения α, β и γ. Мы можем использовать их, чтобы найти отношение длин отрезков YZ:NX.
В треугольнике YNZ по теореме синусов:
YX/YN = sin(γ) / sin(α) (7)
Так как YX = YZ + ZX, то есть YX - YZ = ZX:
(YZ + ZX) / YN = sin(γ) / sin(α)
YZ / YN + ZX / YN = sin(γ) / sin(α)
YZ / YN + NX / YN = sin(γ) / sin(α)
Так как прямая NX проходит через точку X, она является касательной к окружности w1. Поэтому прямая NX будет перпендикулярна радиусу O1X в точке X.
То есть угол XNY будет прямым, и sin(α) = YN / NY.
Поэтому уравнение будет:
YZ / YN + NX / YN = sin(γ) / (YN / NY)
Убираем NY из знаменателей:
YZ + NX = sin(γ) / sin(α)
Заменяем sin(γ) и sin(α) на их значения:
YZ + NX = tan(18) / tan(α)
Но мы знаем, что α + β = 90 (по уравнению (2)). Поэтому, α = 90 - β.
Подставляем это в уравнение:
YZ + NX = tan(18) / tan(90 - β)
На заметку, ψ = tan(18).
YZ + NX = ψ / tan(90 - β)
Из уравнения (5) также можно получить, что β = 90 - α, а значит β = 90 - (90 - β), то есть β = β.
Подставляем это в уравнение:
YZ + NX = ψ / tan(90 - β)
YZ + NX = ψ / tan(β)
Отсюда получаем, что отношение длин отрезков YZ:NX равно ψ / tan(β).
