Давайте представим себе данную ситуацию геометрически. У нас есть две окружности - w1 и w2, с центрами O1 и O2 соответственно. Они касаются в точке X. Также у нас есть прямая NX, которая является общей касательной к окружностям w1 и w2. Теперь проведем вторые касательные NY и NZ из точки N к окружностям w1 и w2 соответственно. По условию задачи, сумма углов YO1X и ZO2X в 5 раз больше угла YNZ. Нам нужно найти отношение длин отрезков YZ и NX. Давайте обозначим угол YO1X как α, угол ZO2X — как β и угол YNZ — как γ. Из условия задачи у нас есть следующее соотношение: α + β = 5γ. - (1) Также нам известно, что прямые NY и NZ являются касательными к окружностям w1 и w2 соответственно. Это означает, что угол YNX = угол YNZ и угол ZNX = угол ZNZ. Кроме того, так как NX является общей касательной, углы YNX и ZNX в сумме дают нам прямой угол (90 градусов). Таким образом, у нас есть следующее соотношение: YNX + ZNX = 90 градусов. Так как углы YNX и ZNX равны, мы можем записать это соотношение в виде: 2YNX = 90 градусов. - (2) Заметим, что угол YNZ также равен углу YNX, так как они являются соответствующими углами при параллельных прямых NY и NZ и выполняется следующее соотношение: гамма = угол YNX. - (3) Теперь, когда у нас есть соотношения (1), (2) и (3), мы можем решить задачу. Из (3) следует, что γ = α. Таким образом, мы можем переписать (1) следующим образом: α + β = 5α. Это значит, что β = 4α. - (4) Теперь мы можем использовать (2), чтобы найти угол YNX: 2α = 90 градусов. α = 45 градусов. Теперь мы можем найти значение угла β, используя (4): β = 4α = 4 * 45 градусов = 180 градусов. Теперь мы знаем значения углов α и β. Рассмотрим треугольник NXY. Угол NXY = угол YNX = α = 45 градусов. Угол N = угол NXO1 = β = 180 градусов. Таким образом, треугольник NXY — это прямоугольный треугольник, так как сумма углов треугольника равна 180 градусов. То есть O1X является гипотенузой треугольника NXY, а NY — катетом. Аналогично, треугольник NXZ — тоже прямоугольный треугольник, где NZ — катет и O2X — гипотенуза. Мы знаем, что прямоугольные треугольники NXY и NXZ имеют общий угол N и решены согласно правилам тригонометрии. Поэтому мы можем записать следующие соотношения: NY / NX = tan α, - (5) NZ / NX = tan β. - (6) Теперь мы можем подставить значения углов α и β в (5) и (6), чтобы получить соотношения длины отрезков: NY / NX = tan 45 градусов, NZ / NX = tan 180 градусов. То есть NY = NX * tan 45 градусов, NZ = NX * tan 180 градусов. Заметим, что tan 45 градусов = 1, так как это значение тангенса угла 45 градусов (по определению). А tan 180 градусов = 0, так как угол 180 градусов не имеет определенного значения для тангенса. Таким образом, мы получаем: NY = NX * 1 = NX NZ = NX * 0 = 0. Теперь мы можем найти отношение длин отрезков YZ и NX: YZ / NX = (NY + NZ) / NX = (NX + 0)/NX = NX/NX = 1. Таким образом, отношение длин отрезков YZ и NX равно 1. Ответ: отношение длин отрезков YZ и NX равно 1.