Пусть радиус окружности w1 равен r1, а радиус окружности w2 равен r2. Для начала построим схему данной задачи:

           O1

           |

           | 

           |     r1

   _______________

  /               

 /                 

|         X         |

|__________________|

          / 

         /    r2

        /     

       /       

       O2        N

Из условия задачи следует, что прямая NX является общей касательной к окружностям w1 и w2. Так как касательная к окружности проводится из точки касания, то можно сказать, что треугольник O2X прямоугольный, так как прямая NX является высотой катета O2X. Введем обозначения для удобства: пусть YZ = l, а NX = h. Далее, рассмотрим треугольники ONY и O1XY:

  NY

  |

  | 

  |  

  |   

  |     r1

  |     

  |      

  |      |

  |      |  l

  |______|__

  N       O1  X

Поскольку прямая YO1 перпендикулярна касательной NY, то угол YO1X равен 90 градусов. Также из условия задачи следует, что сумма углов YO1X и ZO2X в 5 раз больше угла YNZ. Пусть угол YNZ равен a. Тогда угол YO1X равен 5a. Так как треугольник ONY прямоугольный, то по теореме Пифагора имеем: ON^2 = OY^2 + NY^2. Подставим известные значения: (r1 + r2)^2 = (r1 - l)^2 + h^2. Разложим получившееся уравнение: r1^2 + 2r1r2 + r2^2 = r1^2 - 2r1l + l^2 + h^2. 2r1r2 + r2^2 = -2r1l + l^2 + h^2. l^2 + 2r1l - h^2 + 2r1r2 + r2^2 = 0. Решим данное квадратное уравнение относительно l: l = (-2r1 ± sqrt((2r1)^2 - 4(1)(-h^2 + 2r1r2 + r2^2))) / 2(1). l = (-2r1 ± sqrt(4r1^2 + 4h^2 - 8r1r2 - 4r2^2)) / 2. l = (-r1 ± sqrt(r1^2 + h^2 - 2r1r2 - r2^2)) / 1. Так как длина отрезка YZ не может быть отрицательной, то выбираем положительное значение: l = -r1 + sqrt(r1^2 + h^2 - 2r1r2 - r2^2). Далее, рассмотрим треугольник O2X:

        /|

       / |

      /  |

     /   |

   r2/    |

   /     |

  /______|

 O2   X  N

Треугольник O2X также является прямоугольным, так как прямая NX является высотой катета O2X. Таким образом, угол O2X также равен 90 градусов. Теперь, рассмотрим треугольник ZO2X:

       /|

      / |

     /  |

    /   |

r2 /    |

  /     |

 /______|

Z   X   O2

Рассмотрим угол O2ZX равный b. Из условия задачи следует, что сумма углов YO1X и ZO2X в 5 раз больше угла YNZ. Угол YO1X равен 5a, а угол O2ZX равен b. Таким образом: 5a + b = 5 * a. b = 4 * a. Теперь, рассмотрим треугольник ZNO2:

       /|

      / |

     /  |

    /   |

r2 /    |

  /     |

 /______|

Z   N   O2

Из треугольника ZNO2, поскольку прямая NZ является высотой катета ZN, используем теорему Пифагора: r2^2 = l^2 + h^2. Теперь, подставим значение l, полученное ранее: r2^2 = (-r1 + sqrt(r1^2 + h^2 - 2r1r2 - r2^2))^2 + h^2. Разложим получившееся выражение: r2^2 = r1^2 + h^2 - 2r1r2 - r2^2 + 2r1 * sqrt(r1^2 + h^2 - 2r1r2 - r2^2) + r1^2 + h^2. r2^2 + r2^2 - 2r1 * sqrt(r1^2 + h^2 - 2r1r2 - r2^2) = 2r1r2 + 2h^2. 2r2^2 - 2r1 * sqrt(r1^2 + h^2 - 2r1r2 - r2^2) = 2r1r2 + 2h^2. r2^2 - r1 * sqrt(r1^2 + h^2 - 2r1r2 - r2^2) = r1r2 + h^2. r2^2 - r1 * sqrt(r1^2 + h^2 - 2r1r2 - r2^2) = r1r2 + h^2. sqrt(r1^2 + h^2 - 2r1r2 - r2^2) = r1^2 / r1 - r2. (r1^2 + h^2 - 2r1r2 - r2^2) = (r1^2 / r1 - r2)^2. r1^2 + h^2 - 2r1r2 - r2^2 = r1^4 / r1^2 - 2r1r2 * (r1^2 / r1 - r2) + r2^2. r1^2 + h^2 - 2r1r2 - r2^2 = r1^4 / r1^2 - 2r1r2 + 2r1r2^2 + r2^2. r1^2 + h^2 - 2r1r2 - r2^2 = r1^2 - 2r1r2 + r1^2r2^2 + r2^2. h^2 = r1^2r2^2. h = r1 * r2. Теперь, найдем отношение l к h: l/h = (-r1 + sqrt(r1^2 + h^2 - 2r1r2 - r2^2))/h. Подставим значение h, полученное ранее: l/h = (-r1 + sqrt(r1^2 + (r1 * r2)^2 - 2r1r2 - r2^2))/(r1 * r2). l/h = (-r1 + sqrt(r1^2 + r1^2 * r2^2 - 2r1r2 - r2^2))/(r1 * r2). l/h = (-r1 + sqrt(r1^2(1 + r2^2) - 2r1r2 - r2^2))/(r1 * r2). l/h = (-r1 + sqrt(r1^2(1 + r2^2) - r1r2 - r1r2 - r2^2))/(r1 * r2). l/h = (-r1 + sqrt(r1^2(1 + r2^2) - 2r1r2(r1 + r2)))/(r1 * r2). l/h = (-r1 + sqrt(r1^2(1 + r2^2) - 2r1r2(r1 + r2)))/(r1 * r2). l/h = (-r1 + sqrt(r1^2(1 + r1r2 + r2^2) - 2r1r2(r1 + r2)))/(r1 * r2). l/h = (-r1 + sqrt(r1^2 + r1^3r2 + r1r2^2 - 2r1^2r2 - 2r1^2r2 - 2r1r2^2))/(r1 * r2). l/h = (-r1 + sqrt(r1^2 + r1^3r2 - 4r1^2r2 - 3r1r2^2))/(r1 * r2). l/h = (-r1 + sqrt(r1^2(1 + r1r2 - 4r1r2 - 3r2^2)))/(r1 * r2). l/h = (-r1 + sqrt(r1^2(1 - 3r2^2 - 3r1r2)))/(r1 * r2). l/h = (-r1 + sqrt(r1^2(1 - 3r2(r2 + r1))))/(r1 * r2). l/h = (-r1 + sqrt(r1^2(1 - 3r2(r2 + r1))))/(r1 * r2). l/h = (-r1 + r1*sqrt(1 - 3r2(r2 + r1)))/(r1 * r2). l/h = (r1*(1 - sqrt(1 - 3r2(r2 + r1))))/(r1 * r2). l/h = (1 - sqrt(1 - 3r2(r2 + r1)))/(r2). Теперь, найдем значение l/h в виде числового значения. Для этого возьмем конкретные значения r1 и r2. Допустим, r1 = 2 и r2 = 3. l/h = (1 - sqrt(1 - 3*3*(3 + 2)))/(3). l/h = (1 - sqrt(1 - 27*5))/(3). l/h = (1 - sqrt(1 - 135))/(3). l/h = (1 - sqrt(-134))/(3). Так как мы получили отрицательное значение под квадратным корнем, то значение l/h будет мнимым.