Задача дана следующим образом:
Есть две окружности w1 и w2 с центрами O1 и O2 соответственно. Окружности касаются в точке X. Прямая NX — общая касательная окружностей w1 и w2. Из точки N проведены вторые касательные NY и NZ к окружностям w1 и w2 соответственно. Известно, что сумма углов YO1X и ZO2X в 3 раза больше угла YNZ. Нужно найти отношение длин отрезков YZ:NX.
Данная задача включает в себя несколько геометрических фигур и отношений между ними. Для ее решения воспользуемся свойствами касательных и центральных углов.
Посмотрим на условие задачи и вспомним свойства касательных.
1. Окружности w1 и w2 касаются в точке X. Значит, отрезок NX является общей касательной к окружностям. По свойству касательных, угол NYX равен углу YXN, а угол NZX равен углу ZXN.
2. Из точки N проведены касательные NY и NZ к окружностям w1 и w2 соответственно. Значит, углы YNZ и ZNY - это прямые углы.
Также в условии задачи говорится, что сумма углов YO1X и ZO2X в 3 раза больше угла YNZ. Обозначим угол YO1X как a, угол ZO2X - b и угол YNZ - c. Тогда получим следующее уравнение:
a + b = 3c. (1)
Теперь посмотрим на треугольники YOX и ZOX. У этих треугольников острый угол при O, поэтому они подобны. Из этого следует, что отрезки YX и ZX имеют пропорциональные длины к отрезкам OY и OZ.
Так как OY и OZ - радиусы окружностей w1 и w2, они равны. Значит, отрезки YZ и XN тоже имеют пропорциональные длины.
Обозначим отношение длин отрезков YZ и NX как k. Тогда имеем следующее уравнение:
YZ/NX = k. (2)
Теперь объединим полученные знания и решим задачу.
Из треугольников YOX и ZOX следует, что углы YO1X и ZO2X - это прямые углы, так как они лежат на диаметрах окружностей w1 и w2, а значит, являются центральными углами. Значит, a = 90° и b = 90°.
Также по условию известно, что a + b = 3c. Подставим полученные значения:
90° + 90° = 3c,
180° = 3c,
c = 180° / 3 = 60°.
Теперь вернемся к уравнению (2) и найдем отношение длин отрезков YZ и NX.
YZ/NX = k.
Теперь заметим, что треугольники NYZ и NXZ имеют общий угол при N, а значит, они подобны. Значит, отношение длин отрезков YZ и NX равно отношению длин отрезков NY и NZ:
YZ/NX = NY/NZ.
Теперь посмотрим на треугольник NYZ. В нем угол YNZ - это прямой угол, значит, он равен 90°.
Также по условию задачи известно, что YO1X + ZO2X = 3c, и мы уже нашли, что c = 60°. Подставим полученное значение:
YO1X + ZO2X = 3 * 60°,
YO1X + ZO2X = 180°.
Так как углы YO1X и ZO2X вместе составляют полный угол в 180°, получаем следующее:
YO1X + ZO2X = 180°,
YO1X = 180° - ZO2X.
Вернемся к треугольнику YO1X. Угол YO1X равен 180° - ZO2X и 90° + a. Подставим значения:
180° - ZO2X = 90° + a,
90° + a = 180° - ZO2X.
Теперь можно выразить угол a через ZO2X:
a = 180° - ZO2X - 90°,
a = 90° - ZO2X.
Теперь посмотрим на треугольник ZXN. Угол ZXN равен b = 90°. Так как треугольник ZXN - прямоугольный, в нем можно применить теорему Пифагора:
ZX^2 = XN^2 + NZ^2.
Теперь заменим в этом уравнении синусы на отношения сторон и подставим найденные значения:
tan(90° - ZO2X) = YO1 / O1X,
tan(90° - ZO2X) = NY / XN.
Так как ZX и XN пропорциональны YZ и NX, можно заменить в уравнении сторону ZX на YZ и сторону XN на NX:
tan(90° - ZO2X) = YZ / NX.
Теперь мы получили отношение длин отрезков YZ и NX, что было искомым. Запишем это отношение еще раз:
YZ/NX = tan(90° - ZO2X).
Таким образом, отношение длин отрезков YZ и NX равно тангенсу угла (90° - ZO2X). Ответ можно записать в виде значения тангенса.
