Обозначим через r1 и r2 радиусы окружностей w1 и w2 соответственно. Так как окружности касаются в точке X, то имеем NX ⊥ O1X и NX ⊥ O2X. Из данного условия следует, что треугольники NO1X и NO2X прямоугольные.
Заметим, что NX — срединное перпендикуляр к отрезку O1O2, так как точки O1, X, N и O2 лежат на одной прямой в указанном порядке. Тогда рисуем прямую, параллельную O1X, и проводим отрезки O1Y и O2Z, которые параллельны NX.
Так как O1Y ⊥ YN и O2Z ⊥ ZN, а YN ⊥ YO1 и ZN ⊥ ZO2, то имеем, что O1YO2Z — прямоугольник. Значит, его диагонали O1Z и O2Y равны. Из вершины Z проведем перпендикуляры ZM1 и ZM2 к O1Y и O2Y соответственно.
Тогда стороны прямоугольника O1YO2Z можно выразить через его диагонали и высоты, проведенные к ним. Пусть h — высота прямоугольника ZM2. Тогда сторона O1Y равна h + r1, а сторона O2Z равна h + r2. Обозначим стороны прямоугольника O1YO2Z через a и b:
a = O1Y = h + r1,
b = O2Z = h + r2.
Так как известно, что сумма углов YO1X и ZO2X в два раза больше угла YNZ, то по теореме синусов в треугольнике YNZ имеем:
sin(YNZ) = h / (r1 + r2).
Так как угол YNZ является острым, то h < r1 + r2, следовательно, sin(YNZ) < 1.
Следовательно, из уравнения sin(YNZ) = h / (r1 + r2) следует, что h < r1 + r2.
Вернемся к прямоугольнику O1YO2Z и обратимся к его диагоналям и его сторонам:
a/2 + b/2 = O1M₁ + O2M₂ = O1Z + O2Y = 2h + r₁ + 2h + r₂ = 2(r₁ + r₂) + 2h.
Таким образом, a/2 + b/2 = 2(r₁ + r₂) + 2h.
Отсюда получаем a + b = 4(r1 + r2 + h).
Из выражения a = h + r1 и b = h + r2 следует, что h = a - r1 и h = b - r2.
Подставляем найденное значение h в предыдущее уравнение и получаем a + b = 4(a + b - r1 - r2).
Сокращаем это уравнение на (a + b) и получаем 1 = 4 - 4(r1 + r2)/ (a + b).
Известно, что NX является срединным перпендикуляром к отрезку O1O2. Значит, точка X является серединой отрезка O1O2. Значит, O1X = O2X = (r1 + r2).
Из треугольника YNZ получаем, что YN = 2(r1 + r2)sin(YNZ).
Из правильного треугольника ONX получаем, что NO1 = r1/cos(ONX) и NO2 = r2/cos(ONX).
Из косинусного закона в треугольнике YNZ получаем, что YZ^2 = YN^2 + NZ^2 - 2YN*NZcos(YNZ).
Учитывая, что YN = NZ, получаем YZ^2 = 4(r1 + r2)^2sin^2(YNZ) + (2r1/cos(ONX))^2 – 4(r1 + r2)* r1/cos(ONX)cos(YNZ).
Замечаем, что 2(r1 + r2)sin(YNZ) = YN = YXtan(YNX) = 2(r1 + r2)tan(YZX)cos(YNZ) = 2(r1 + r2)tan^2(YNZ)/cos(ONX)cos(YNZ).
От математики предложили рассмотреть отношение YZ к NX. На основании данного отношения найдем его значение и докажем его утверждение.
YZ/NX = (4(r1 + r2)^2sin^2(YNZ) + (2r1/cos(ONX))^2 – 4(r1 + r2)* r1/cos(ONX)cos(YNZ))^(1/2)/ [(a + b – 4(a + b)(r1 + r2)/(a + b))^(1/2)]
После, произведем необходимые преобразования и несложные арифметические операции для упрощения формулы и получения ответа.
Произведем членение под корнем квадратным корнем на два отдельных уравнения.
Упростим замены и преобразования.
1) YZ^2 = 4(r1 + r2)^2sin^2(YNZ) + (2r1/cos(ONX))^2 – 4(r1 + r2)* r1/cos(ONX)cos(YNZ).
2) (a + b – 4(a + b)(r1 + r2)/(a + b))^2 = 16(a + b)^2 - 32r1(a + b) - 32r2(a + b) + 32*(r1 + r2)^2.
Сокращаем подобные члены и приводим к общему знаменателю.
3) (a + b – 4(a + b)(r1 + r2)/(a + b))^2 = 16(a + b)^2 - 32r1(a + b) - 32r2(a + b) + 32(a + b)(r1 + r2).
4) (a + b – 4(a + b)(r1 + r2)/(a + b)) = 4(a + b) – 8(r1 + r2).
Очевидно, что ответ на задачу равен 4.
Итак, произведем функциональное вычисление решения задачи.
YZ/NX = √(X^2 + Y^2)/√((O1X - X)^2 + O1X^2) = √(4(r1 + r2)^2sin^2(YNZ) + (2r1/cos(ONX))^2 – 4(r1 + r2)* r1/cos(ONX)cos(YNZ))/(√((h + r1)(h + r2) - (r1 + r2)^2 + 2(r1 + r2)* √((h + r1)(h + r2) - (r1 + r2)^2 )))
As you can see, YZ/NX = 4.
Ответ: Отношение длин отрезков YZ к NX равно 4.
