Обозначим радиусы окружностей как r1 и r2, соответственно. Так как NX - общая касательная, то она перпендикулярна радиусам w1 и w2. Обозначим точки касания NX с окружностями как M1 и M2. Заметим, что треугольники YNM1 и YNZ подобны (по теореме о касательной и углу касательной). Также треугольники ZNM2 и ZNY подобны. Поэтому имеем следующее соотношение длин сторон треугольников: YN/YM1 = YZ/NM1 и NZ/NM2 = NY/YZ Так как NM1 = r1, и NM2 = r2, то получаем следующие соотношения: 1) YN/YM1 = YZ/r1, 2) NZ/NM2 = NY/YZ. Рассмотрим треугольники YO1X и ZO2X. Угол YO1X = 180° - YNZ, так как общая касательная NX пересекает ось симметрии окружностей O1 и O2. Угол ZO2X = 180° - YNZ. Учитывая, что сумма углов YO1X и ZO2X вдвое больше YNZ, получаем: 180° - YNZ + 180° - YNZ = 2° * YNZ разделив обе части уравнения на 2, получим: 90° - 0.5 * YNZ = YNZ. Отсюда найдем, что YNZ = 60°. Теперь обратимся к треугольнику YNM1. Угол YNM1 = 90° - NYM1, так как NM1 перпендикулярна к радиусу O1M1 (новое обозначение). Отсюда получаем, что NYM1 = 90° - YNM1 = 90° - 60° = 30°. Также обратимся к треугольнику ZNM2. Угол ZNM2 = 90° - NZM2, так как NM2 перпендикулярна к радиусу O2M2 (новое обозначение). Отсюда получаем, что NZM2 = 90° - ZNM2 = 90° - 60° = 30°. Теперь можно выразить NY в терминах YZ, используя теорему синусов в треугольнике YNZ: NY/sin YNZ = YZ/sin NYZ. Заметим, что sin YNZ = sin 60° = √3/2, а sin NYZ = sin 30° = 1/2. Подставив значения, получим: NY/(√3/2) = YZ/(1/2), NY = √3 * YZ. Теперь рассмотрим отношение длин отрезков YZ и NX. Из треугольника NXM1 можно записать соотношение: 1) YZ/NX = sin NYZ/sin NXZ. Угол NXZ = 180° - YNZ - NZX, так как сумма углов треугольника должна быть равна 180°. Учитывая, что YNZ = 60°, получаем: NXZ = 180° - 60° - NZX = 120° - NZX. Теперь заменим выражение NXZ в формуле (1): YZ/NX = sin NYZ/sin (120° - NZX). Рассмотрим треугольник NMX2. Угол NMX2 = 90° - ZNX2, так как ZNX2 перпендикулярна к радиусу O2X2 (новое обозначение). Отсюда получаем, что ZNX2 = 90° - NMX2. Также заметим, что угол NMX2 = ZYX, так как угол между касательной и радиусом окружности равен углу между прямой, соединяющей точку касания с центром окружности и касательной. Итак, имеем: ZNX2 = 90° - NMX2 = 90° - ZYX. Теперь снова вернемся к формуле (1) и заменим угол NXZ на 120° - NZX: YZ/NX = sin NYZ/sin (120° - NZX). По теореме синусов в треугольнике ZNX получим: sin ZYX/sin ZNX = YZ/NX. Замена угла ZYX = NXZ даст: sin NXZ/sin (90° - NXZ) = YZ/NX. Учитывая, что sin (90° - α) = cos α, можно записать: sin NXZ/cos NXZ = YZ/NX, tg NXZ = YZ/NX. Теперь вернемся к уравнению sin NXZ/sin (120° - NZX) = YZ/NX. Разделим числитель и знаменатель левой части на sin (120° - NZX), получим: sin NXZ/sin (120° - NZX) = YZ/(NX*sin (120° - NZX)). Вспомним, что sin 60° = √3/2 и sin 30° = 1/2: tg NXZ = YZ/(NX*sin (120° - NZX)), tg NXZ = YZ/(NX * (sin 120° * cos NZX - sin NZX * cos 120°)), tg NXZ = YZ/(NX * (√3/2 * cos NZX - 1/2 * cos 120°)), tg NXZ = YZ/(NX * (√3/2 * cos NZX - 1/2 * (-1/2))). Теперь заменим cos NZX на cos (90° - ZNX) = sin ZNX: tg NXZ = YZ/(NX * (√3/2 * sin ZNX + 1/4)). Наконец, заменим указанное отношение длин на соответствующую формулу: tg NXZ = YZ/NX. После подстановки получим: YZ/NX = (√3/2 * sin ZNX + 1/4). Исходя из данной формулы, можно найти отношение длин отрезков YZ и NX в указанных условиях.