Обозначим радиусы окружностей как r1 и r2, соответственно. Так как NX - общая касательная, то она перпендикулярна радиусам w1 и w2. Обозначим точки касания NX с окружностями как M1 и M2.
Заметим, что треугольники YNM1 и YNZ подобны (по теореме о касательной и углу касательной). Также треугольники ZNM2 и ZNY подобны. Поэтому имеем следующее соотношение длин сторон треугольников:
YN/YM1 = YZ/NM1 и NZ/NM2 = NY/YZ
Так как NM1 = r1, и NM2 = r2, то получаем следующие соотношения:
1) YN/YM1 = YZ/r1,
2) NZ/NM2 = NY/YZ.
Рассмотрим треугольники YO1X и ZO2X. Угол YO1X = 180° - YNZ, так как общая касательная NX пересекает ось симметрии окружностей O1 и O2. Угол ZO2X = 180° - YNZ.
Учитывая, что сумма углов YO1X и ZO2X вдвое больше YNZ, получаем:
180° - YNZ + 180° - YNZ = 2° * YNZ
разделив обе части уравнения на 2, получим:
90° - 0.5 * YNZ = YNZ.
Отсюда найдем, что YNZ = 60°.
Теперь обратимся к треугольнику YNM1. Угол YNM1 = 90° - NYM1, так как NM1 перпендикулярна к радиусу O1M1 (новое обозначение). Отсюда получаем, что NYM1 = 90° - YNM1 = 90° - 60° = 30°.
Также обратимся к треугольнику ZNM2. Угол ZNM2 = 90° - NZM2, так как NM2 перпендикулярна к радиусу O2M2 (новое обозначение). Отсюда получаем, что NZM2 = 90° - ZNM2 = 90° - 60° = 30°.
Теперь можно выразить NY в терминах YZ, используя теорему синусов в треугольнике YNZ:
NY/sin YNZ = YZ/sin NYZ.
Заметим, что sin YNZ = sin 60° = √3/2, а sin NYZ = sin 30° = 1/2.
Подставив значения, получим:
NY/(√3/2) = YZ/(1/2),
NY = √3 * YZ.
Теперь рассмотрим отношение длин отрезков YZ и NX. Из треугольника NXM1 можно записать соотношение:
1) YZ/NX = sin NYZ/sin NXZ.
Угол NXZ = 180° - YNZ - NZX, так как сумма углов треугольника должна быть равна 180°. Учитывая, что YNZ = 60°, получаем:
NXZ = 180° - 60° - NZX = 120° - NZX.
Теперь заменим выражение NXZ в формуле (1):
YZ/NX = sin NYZ/sin (120° - NZX).
Рассмотрим треугольник NMX2. Угол NMX2 = 90° - ZNX2, так как ZNX2 перпендикулярна к радиусу O2X2 (новое обозначение). Отсюда получаем, что ZNX2 = 90° - NMX2.
Также заметим, что угол NMX2 = ZYX, так как угол между касательной и радиусом окружности равен углу между прямой, соединяющей точку касания с центром окружности и касательной.
Итак, имеем:
ZNX2 = 90° - NMX2 = 90° - ZYX.
Теперь снова вернемся к формуле (1) и заменим угол NXZ на 120° - NZX:
YZ/NX = sin NYZ/sin (120° - NZX).
По теореме синусов в треугольнике ZNX получим:
sin ZYX/sin ZNX = YZ/NX.
Замена угла ZYX = NXZ даст:
sin NXZ/sin (90° - NXZ) = YZ/NX.
Учитывая, что sin (90° - α) = cos α, можно записать:
sin NXZ/cos NXZ = YZ/NX,
tg NXZ = YZ/NX.
Теперь вернемся к уравнению sin NXZ/sin (120° - NZX) = YZ/NX. Разделим числитель и знаменатель левой части на sin (120° - NZX), получим:
sin NXZ/sin (120° - NZX) = YZ/(NX*sin (120° - NZX)).
Вспомним, что sin 60° = √3/2 и sin 30° = 1/2:
tg NXZ = YZ/(NX*sin (120° - NZX)),
tg NXZ = YZ/(NX * (sin 120° * cos NZX - sin NZX * cos 120°)),
tg NXZ = YZ/(NX * (√3/2 * cos NZX - 1/2 * cos 120°)),
tg NXZ = YZ/(NX * (√3/2 * cos NZX - 1/2 * (-1/2))).
Теперь заменим cos NZX на cos (90° - ZNX) = sin ZNX:
tg NXZ = YZ/(NX * (√3/2 * sin ZNX + 1/4)).
Наконец, заменим указанное отношение длин на соответствующую формулу:
tg NXZ = YZ/NX.
После подстановки получим:
YZ/NX = (√3/2 * sin ZNX + 1/4).
Исходя из данной формулы, можно найти отношение длин отрезков YZ и NX в указанных условиях.
