Исходя из условия задачи, имеем две окружности w1 и w2 с центрами O1 и O2, соответственно, которые касаются друг друга в точке X. Пусть NX - общая касательная к окружностям w1 и w2, и пусть Y и Z - это точки касания этой общей касательной с окружностями w1 и w2 соответственно. Из условия задачи следует, что угол YO1X + угол ZO2X равны углу YNZ, умноженному на 5. Обозначим через α угол YO1X, через β угол ZO2X и через γ угол YNZ. Тогда по условию задачи имеем: α + β = 5γ .....(1) Также можно заметить, что углы α и β являются вписанными углами, то есть они равны половине соответствующих дуг окружностей. Так как угол O1YX является вписанным углом, то α = 1/2 * ∠O1YX. Аналогично, угол O2ZX является вписанным углом, поэтому β = 1/2 * ∠O2ZX. Сумма углов O1YX и O2ZX равна полному углу в 360 градусов, поэтому: 1/2 * ∠O1YX + 1/2 * ∠O2ZX = 360° ∠O1YX + ∠O2ZX = 2 * 360° ∠O1YX + ∠O2ZX = 720° Поскольку угол O1YX равен углу α и угол O2ZX равен углу β, можем записать: α + β = 720° .....(2) Теперь у нас есть два уравнения: уравнение (1) α + β = 5γ и уравнение (2) α + β = 720°. Используя эти два уравнения, мы можем найти значения углов α и β. Вычтем уравнение (1) из уравнения (2): α + β - (α + β) = 720° - 5γ 0 = 720° - 5γ 5γ = 720° γ = 720° / 5 γ = 144° Теперь мы знаем значение угла γ. Далее, нам нужно найти отношение длин отрезков YZ и NX. Обозначим длины этих отрезков через a и b соответственно. На основании построения прямой NX и касательных NY и NZ, у нас получается подобие прямоугольных треугольников NYX и ZNX. Поскольку треугольники NYX и ZNX подобны, отношение их сторон будет равно отношению соответствующих сторон: YZ / NX = NY / YX = ZN / ZX ..... (*) Теперь рассмотрим треугольник NYX. Угол NYX смежный с углом YO1X, который равен углу α. Также в прямоугольном треугольнике NYX угол YNX равен γ. Таким образом, угол XNY равен α - γ. Аналогично, в треугольнике ZNX угол ZNX смежный с углом ZO2X, который равен углу β. Угол ZNY равен углу YNZ, который равен γ. Таким образом, угол XNZ равен β - γ. Заметим, что треугольник NYX может быть рассматриваемым как прямоугольный треугольник со стороной YX, поэтому тангенс угла XNY равен отношению противоположного катета NY к прилежащему катету YX. Аналогично, тангенс угла XNZ равен отношению противоположного катета NZ к прилежащему катету ZX: tg(XNY) = NY / YX ..... (1) tg(XNZ) = NZ / ZX ..... (2) Распишем данные выражения, учитывая, что NY = a и NZ = b, получаем: tg(XNY) = a / YX ..... (3) tg(XNZ) = b / ZX ..... (4) Так как tg(XNY) = tg(α - γ), а tg(XNZ) = tg(β - γ), можем записать: tg(α - γ) = a / YX ..... (5) tg(β - γ) = b / ZX ..... (6) Заметим, что разность углов α - γ и β - γ равна разности углов α и β: α - γ = α - (720° / 5) = α - 144° β - γ = β - (720° / 5) = β - 144° Таким образом, можем переписать уравнения (5) и (6): tg(α - 144°) = a / YX ..... (7) tg(β - 144°) = b / ZX ..... (8) Рассмотрим уравнение (7). Угол α - 144° является смежным углом для угла O1YX. Заметим, что угол O1YX равен углу α. Из прямоугольного треугольника O1YX следует, что тангенс угла O1YX равен отношению противоположного катета O1Y к прилежащему катету O1X. Таким образом, tg(O1YX) = O1Y / O1X ..... (9) Выразим O1X через YX, используя свойства касательных и окружностей: O1X = YX - O1Y ..... (10) Подставим данные выражения в уравнение (9): tg(O1YX) = O1Y / (YX - O1Y) tg(α - 144°) = O1Y / (YX - O1Y) ..... (11) Аналогично, из прямоугольного треугольника O2ZX следует, что tg(O2ZX) = O2Z / O2X. Выразим O2X через ZX и O2Z: O2X = ZX - O2Z ..... (12) Подставим данные выражения в уравнение tg(O2ZX) = O2Z / O2X: tg(β - 144°) = O2Z / (ZX - O2Z) ..... (13) Решим уравнения (11) и (13) относительно O1Y и O2Z соответственно: tg(α - 144°) = O1Y / (YX - O1Y) ..... (11) tg(β - 144°) = O2Z / (ZX - O2Z) ..... (13) Далее, возведем оба уравнения в квадрат, чтобы избавиться от функции тангенс и получить уравнения только для O1Y и O2Z: [ tg(α - 144°) ]^2 = [ O1Y / (YX - O1Y) ]^2 ..... (11') [ tg(β - 144°) ]^2 = [ O2Z / (ZX - O2Z) ]^2 ..... (13') Так как tg(α - 144°) = tg(α) согласно своиствам тангенса, можем записать: [ tg(α) ]^2 = [ O1Y / (YX - O1Y) ]^2 ..... (11'') То же самое применим и к уравнению (13'): [ tg(β) ]^2 = [ O2Z / (ZX - O2Z) ]^2 ..... (13'') Теперь можем получить значения O1Y и O2Z из уравнений (11'') и (13''): O1Y = (tg(α) * (YX - O1Y) ..... (14) O2Z = (tg(β) * (ZX - O2Z) ..... (15) Переформулируем уравнение (14): O1Y = (tg(α) * YX) - (tg(α) * O1Y) ..... (14) Добавим tg(α) * O1Y в оба члена справа: O1Y + tg(α) * O1Y = tg(α) * YX (1 + tg(α)) * O1Y = tg(α) * YX O1Y = (tg(α) * YX) / (1 + tg(α)) ..... (14') Аналогично, переформулируем уравнение (15): O2Z = (tg(β) * ZX) - (tg(β) * O2Z) ..... (15) Добавим tg(β) * O2Z в оба члена справа: O2Z + tg(β) * O2Z = tg(β) * ZX (1 + tg(β)) * O2Z = tg(β) * ZX O2Z = (tg(β) * ZX) / (1 + tg(β)) ..... (15') Итак, у нас есть значения O1Y и O2Z из уравнений (14') и (15'). Теперь можем выразить отношение a / b через YX и ZX: a / b = O1Y / O2Z ..... (16) Подставим данные выражения в уравнение (16): a / b = ( (tg(α) * YX) / (1 + tg(α)) ) / ( (tg(β) * ZX) / (1 + tg(β)) ) ..... (16') Заменим tg(α) и tg(β) на соответствующие выражения из уравнений (6') и (8'): a / b = ( (tg(α) * YX) / (1 + tg(α)) ) / ( ( (tg(β) * ZX) ) / (1 + tg(β)) ) Сократим числитель и знаменатель: a / b = (tg(α) * YX * (1 + tg(β))) / (tg(β) * ZX * (1 + tg(α)) Используя соотношение (1), α + β = 5γ, мы можем выразить α через β: α = 5γ - β Используя уравнение 720° = 5γ, мы можем выразить γ через β: γ = 720° / 5 = 144° Теперь заменим α и γ в выражении tg(α) на соответствующие значения: a / b = (tg(5γ - β) * YX * (1 + tg(β))) / (tg(β) * ZX * (1 + tg(5γ - β)) Мы также знаем, что tg(β) = b / ZX, поэтому можем переписать уравнение: a / b = (tg(5γ - β) * YX * (1 + (b / ZX))) / (b * (1 + tg(5γ - β)) Мы знаем, что tg(x - y) = (tg(x) - tg(y)) / (1 + tg(x) * tg(y)), поэтому можем использовать это соотношение для tg(5γ - β): tg(5γ - β) = (tg(5γ) - tg(β)) / (1 + tg(5γ) * tg(β)) Мы также знаем, что tg(5x) = (5 * tg(x) - 10 * tg^3(x))