Обозначим через $M$ и $N$ точки касания прямой $NX$ с окружностями $w_1$ и $w_2$ соответственно. Также обозначим через $A$ и $B$ точки касания прямой $NY$ с окружностью $w_1$, а через $C$ и $D$ — точки касания прямой $NZ$ с окружностью $w_2$. <img src="solution1.png"> Заметим, что $angle YO_1X$ является вписанным углом к дуге $AODB$ окружности $w_1$. Аналогично, $angle ZO_2X$ является вписанным углом к дуге $AMNC$ окружности $w_2$. Это значит, что $angle YO_1X = frac{1}{2}angle AOB$ $angle ZO_2X = frac{1}{2}angle AMC$ Также известно, что $angle YO_1X + angle ZO_2X = angle YNZ$. Применим этот факт: $frac{1}{2}angle AOB + frac{1}{2}angle AMC = angle YNZ$ $frac{1}{2}angle AOB + frac{1}{2}(360^circ -angle AMB) = angle YNZ$ $angle AOB -angle AMB = 2angle YNZ$ $angle AOB - (360^circ -angle ANM) = 2angle YNZ$ $angle AOB + angle ANM = 360^circ + 2angle YNZ$ $angle AOM = 360^circ + 2angle YNZ$ Из этого равенства следует, что угол $2angle YNZ$ вписанный. Теперь рассмотрим треугольник $NZM$. Он равнобедренный, так как $NZ = NM$. Из полученного равенства можно заключить, что $angle YNZ = angle NMZ$. Теперь рассмотрим треугольник $YNZ$. Он тоже является равнобедренным, так как $NY = NZ$. Значит, $angle NYZ = angle YNZ = angle NMZ$. Таким образом, $angle NYZ = angle NMZ$. Но угол $angle NYZ$ также является вписанным углом к дуге $NAOD$ окружности $w_1$, что значит, что он равен $frac{1}{2}angle AOB$. Значит, $angle NYZ = frac{1}{2}angle AOB$ Отсюда следует, что $frac{1}{2}angle AOB = angle NMZ$. Заметим, что треугольники $AOB$ и $MNZ$ подобны, так как соответствующие углы равны. Значит, их стороны пропорциональны. Найдем соответствующие стороны: $frac{YZ}{NX} = frac{MN}{AB} = frac{NZ - NY}{AO}$ Заметим, что $NZ = NA$ и $NY = NB$. Тогда: $frac{YZ}{NX} = frac{NA - NB}{AO} = frac{BO}{AO}$ Заметим, что $BO = AO + AB$. Тогда: $frac{YZ}{NX} = frac{AO + AB}{AO} = frac{AO}{AO} + frac{AB}{AO} = 1 + frac{AB}{AO}$ Чтобы выразить это отношение в более удобной для расчетов форме, рассмотрим еще одну версию данной задачи. В этой версии $w_1$ и $w_2$ касаются внешним образом прямой $NX$. Тогда прямая $XO_1$ будет перпендикулярна прямой $NX$, и точки $N$ и $X$ совместятся. Значит, фигура будет выглядеть следующим образом: <img src="solution2.png"> В этой версии угол $angle NXO_2$ тоже является вписанным углом к дуге $CJK$. Аналогично предыдущему рассуждению, можно показать, что угол $angle YNZ = frac{1}{2}angle DJK$ и угол $angle NZO_1 = frac{1}{2}angle CJK$. Таким образом, имеем следующее равенство: $angle CJK - angle DJK = 2 angle YNZ$ $angle CJK + angle DJK = 360^circ + 2 angle YNZ$ Но угол $angle CJK$ тоже является вписанным, так как он образован дугой $CJK$. Значит, $angle CJK + angle DJK$ является вписанным углом и, следовательно, равно $180^circ$. Отсюда получаем: $180^circ = 360^circ + 2 angle YNZ$ $2 angle YNZ = -180^circ$ $2 angle YNZ = 180^circ$ $angle YNZ = 90^circ$ Значит, угол $angle YNZ$ прямой. Рассмотрим треугольник $NZM$. Он равнобедренный, так как $NZ = NM$. Значит, его углы $angle NMX$ и $angle NZX$ равны. Также рассмотрим треугольник $NYZ$. У него углы $angle NYZ$ и $angle NZY$ равны. Значит, треугольники $NZM$ и $NYZ$ подобны. Их гипотенузы $NZ$ и $NY$ пропорциональны, значит, и их катеты $ZX$ и $YZ$ пропорциональны. То есть, $frac{YZ}{ZX} = frac{NZ}{XM}$ А так как треугольники $NZM$ и $NYZ$ подобны, то $NZ = NM$, значит, $frac{YZ}{ZX} = frac{NM}{XM} = frac{NX}{XM}$ Но $NX = ZX + XM$, значит, $frac{YZ}{ZX} = frac{NX}{XM} = frac{ZX + XM}{XM} = frac{ZX}{XM} + 1$ Таким образом, мы получили следующее равенство: $frac{YZ}{ZX} = frac{ZX}{XM} + 1$ Осталось объединить два полученных равенства: $frac{YZ}{NX} = 1 + frac{AB}{AO}$ $frac{YZ}{ZX} = frac{ZX}{XM} + 1$ $frac{YZ}{NX} = frac{YZ}{ZX} - 1 + frac{ZX}{XM}$ $frac{YZ}{NX} = 1 + frac{AB}{AO} = frac{YZ}{ZX} - 1 + frac{ZX}{XM}$ $frac{YZ}{NX} = frac{YZ}{ZX} + frac{ZX}{XM} - 1$ $frac{YZ}{NX} = frac{YZZ}{ZX} + frac{MZ}{XM} - 1$ $frac{YZ}{NX} = frac{ZMZ}{ZX} + 1$ $frac{YZ}{NX} = frac{MZ}{ZX} + 1$ Заметим, что $frac{MZ}{ZX}$ — это косинус угла $angle MXZ$. Таким образом, ответ на задачу равен косинусу угла, образованного прямыми $NX$ и $ZX$.